2020届江西名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

2020届江西名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷 理 科 数 学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设是等差数列的前项和，，，则公差（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．设，满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，，为的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若存在，使成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左、右焦点，点 ‎，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数在定义域上是单调函数，且，．‎ 若不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若为定义在上的奇函数，当时，，则 ．‎ ‎14．已知，‎ 则 ．‎ ‎15．已知函数只有一个零点，则 ．‎ ‎16．在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且为等边三角形，若四棱锥的体积与四棱锥外接球的表面积大小之比为，则四棱锥的表面积为 ．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为．‎ ‎（1）甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；‎ ‎（2）某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算?‎ ‎19．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆过点，且它的焦距是短轴长的倍．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）设，对任意都有成立，求实数的 取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求和的普通方程；‎ ‎（2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为，求．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围．‎ ‎2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷 理科数学答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎2．【答案】B ‎3．【答案】D ‎4．【答案】A ‎5．【答案】C ‎6．【答案】D ‎7．【答案】A ‎8．【答案】C ‎9．【答案】C ‎10．【答案】B ‎11．【答案】A ‎12．【答案】D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎14．【答案】‎ ‎15．【答案】‎ ‎16．【答案】‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，∴，‎ 故．‎ ‎（2）∵，‎ 又，，∴，∴．‎ 由（1）可知，从而的面积．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）选择方案①更划算．‎ ‎【解析】（1）因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为，‎ 所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为．‎ ‎（2）设在折扣优惠中每籍零件的价格为元，则或．‎ 的分布列为 则．‎ 若选择方案②，则购买总价的数字期望为元．‎ 若选择方案①，由于购买箱能获赠箱，所以该单位只需要购买箱，‎ 从而购买总价为元．‎ 因为，所以选择方案①更划算．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，平面平面，平面平面，‎ 平面，所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 因为，所以，所以．‎ 因为，所以平面．‎ ‎（2）设，则，‎ 四面体的体积．‎ ‎，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时， ，单调递减，‎ 故当时，四面体的体积取得最大值．‎ 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，令，得．‎ 同理可得平面的一个法向量为，‎ 则．‎ 由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）存在，，．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆过点，所以，‎ 又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以，从而．‎ 联立方程组，解得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设存在这样的常数，使，的面积为定值．‎ 设直线的方程为，点，点，‎ 则由知，，‎ 所以①．‎ 联立方程组，消去得．‎ 所以②，③，‎ 又点到直线的距离，‎ 则的面积④．‎ 将②③代入①得，化简得⑤，‎ 将⑤代入④得 ‎，‎ 要使上式为定值，只需，即需，从而，‎ 此时，，‎ 所以存在这样的常数，此时．‎ ‎21．【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，所以函数的定义域为，‎ 所以，且，‎ 令，‎ 所以当时，，，所以．‎ 又，所以当时，，‎ 所以在上单调递减，故．‎ 同理当时，；当时，，‎ 所以在是单调递增，在单调递减，‎ 所以当时，的极大值为，无极小值．‎ ‎（2）令，‎ 因为对任意都有成立，‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ 令，即，解得；令，即，解得．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，所以．‎ 因为，所以，当时，‎ 令，即，解得；令，即，解得．‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，‎ 所以，所以，即实数的取值范围为．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，‎ 故的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），‎ 消去参数，得的普通方程为，‎ 消去参数，得的普通方程为．‎ ‎（2）的方程为，即，‎ 因为圆上只有一个点到的距离为，圆的半径为，所以到的距离为，‎ 即，解得（舍去）．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 故不等式的解集为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 当或时，不等式显然成立；‎ 当时，，则．‎ 故的取值范围为．‎