2020年高中数学第四章圆与方程4

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2020年高中数学第四章圆与方程4

‎4.3 空间直角坐标系 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.给出下列说法:(1)在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c);(2)在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可以写成(0,b,c);(3)在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记作(0,0,c);(4)在空间直角坐标系中,在xOz轴上的点的坐标可记作(a,0,c).其中正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:由空间直角坐标系的概念可知,(1)错,(2)(3)(4)正确.‎ 答案:C ‎2.点M(-2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(  )‎ A.(-2,0,2) B.(-2,0,0)‎ C.(0, 1,2) D.(-2,1,0)‎ 解析:点M(-2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(-2,0,0). ‎ 答案:B ‎3.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标是(  )‎ A.(-1,2,3) B.(1,-2,-3)‎ C.(-1,-2,3) D.(-1,2,-3)‎ 解析:点关于x轴对称,横坐标不变,其他符号相反.‎ 答案:B ‎4.若点P(x,2,1)到M(1,1,2),N(2,1,1)的距离相等,则x=(  )‎ A. B.‎1 C. D.2‎ 解析:由空间两点间距离公式可得 =‎ ,解得x=1.‎ 答案:B ‎5.以正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,且正方体的棱长为1,则棱CC1的中点的坐标为(  )‎ A. B. C. D. 解析:画出图形(图略)即知CC1的中点的坐标为.‎ 5‎ 答案:C ‎6.已知A(1,2,1),B(2,2,2).若点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为________.‎ 解析:设点P(0,0,z),由已知得=,解得z=3,故点P的坐标为(0,0,3).‎ 答案:(0,0,3)‎ ‎7.以原点为球心,以5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x,y,z),则x,y,z满足关系式________.‎ 解析:由空间两点间距离公式可得x2+y2+z2=25.‎ 答案:x2+y2+z2=25‎ ‎8.如图是一个正方体截下的一角PABC,其中|PA|=a,|PB|=b,|PC|=c.建立如图所示的空间直角坐标系,则△ABC的重心G的坐标是____________.‎ 解析:由题知,A(a,0,0),B(0, b,0),C(0,0,c),由重心坐标公式得G的坐标为.‎ 答案: ‎9.如图所示,正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为a.‎ ‎(1)求B1关于平面xOy对称的点的坐标;‎ ‎(2)求B1关于z轴对称的点的坐标;‎ ‎(3)求B1关于原点对称的点的坐标.‎ 解析:∵正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为a,‎ ‎∴易求得点B1的坐标为(a,a,a).‎ ‎(1)B1关于平面xOy对称的点的坐标为(a,a,-a);‎ ‎(2)B1关于z轴对称的点的坐标为(-a,-a,a);‎ ‎(3)B1关于原点对称的点的坐标为(-a,-a,-a).‎ ‎10.已知点A(0,1,0)、B(-1,0,-1)、C(2,1,1),若点P(x,0,z)满足PA⊥AB,PA⊥AC,试求点P的坐标.‎ 解析:∵PA⊥AB,∴△PAB为直角三角形,‎ ‎∴|PB|2=|PA|2+|AB|2,‎ 5‎ 即(x+1)2+(z+1)2=x2+1+z2+1+1+1,‎ 即x+z=1. ①‎ 又∵PA⊥AC,∴△PAC为直角三角形,‎ ‎∴|PC|2=|PA|2+|AC|2,‎ 即(x-2)2+1+(z-1)2=x2+1+z2+4+0+1,‎ 即2x+z=0. ②‎ 由①②得∴点P的坐标为P(-1,0,2).‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.在yOz平面上求与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点P的坐标为(  )‎ A.(1,0,-2) B.(0,1,-2)‎ C.(-2,1,0) D.(0,-2,1)‎ 解析:设P(0,y,z),由题意所以 即解得 所以点P的坐标为(0,1,-2).‎ 答案:B ‎2.一束光线自点P(1,1,1)关于xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光线所走的路程是(  )‎ A. B. C. D. 解析:P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P′(1,1,-1),∴|P′Q|==.‎ 答案:D ‎3.如图,三棱锥ABCD中,AB⊥底面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为(  )‎ A. B. C.2 D. 解析:过点C作CM∥AB,以C为坐标原点,CD所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,CM所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,则D(2,0,0),E(1,0,0),A(0,1,1),‎ ‎∴AE= =.‎ 答案:B ‎4.在空间直角坐标系中,xOy平面内的直线x+y=1上的点M为________时,M到点N(6,5,1)的距离最小,最小值为________.‎ 解析:设点M(x,1-x,0),则 5‎ ‎|MN|= ‎=.‎ 故当x=1时,|MN|min=,对应的点M1(1,0,0).‎ 答案:(1,0,0)  ‎5.如图所示,已知正四面体ABCD的棱长为1,E,F分别为棱AB、CD的中点.‎ ‎(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的坐标.‎ ‎(2)求EF的长.‎ 解析:(1)设底面正三角形BCD的中心为点O,连接AO,DO,延长DO交BC于点M,则AO⊥平面BCD,M是BC的中点,且DM⊥BC,过点O作ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM,故以O为坐标原点,OM,ON,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎∵正四面体ABCD的棱长为1,O为底面△BCD的中心.‎ ‎∴OD=·DM= =,OM=DM=.‎ OA== =.‎ ‎∴A,B,C,‎ D.‎ ‎(2)由(1)及中点坐标公式得E,‎ F,‎ ‎∴|EF|= =.‎ ‎6.如图所示,以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动.‎ ‎(1)当P是AB的中点,且2|CQ|=|QD|时,求|PQ|的值;‎ ‎(2)当Q是棱CD的中点时,试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标.‎ 解析:(1)∵正方体的棱长为1,P是AB的中点,‎ ‎∴P.‎ 5‎ ‎∵2|CQ|=|QD|,‎ ‎∴|CQ|=,Q.‎ 由两点间的距离公式得 ‎|PQ|= ‎==.‎ ‎(2)如图所示,过点P作PE⊥OA于点E,则PE垂直于坐标平面xOy.设点P的横坐标为x,则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x,由正方体的棱长为1,得|AE|=(1-x).‎ ‎∵=,‎ ‎∴|PE|==1-x,‎ ‎∴P(x,x,1-x).‎ 又∵Q,‎ ‎∴|PQ|= ‎= ‎= .‎ ‎∴当x=时,|PQ|min=,点P的坐标为,即P为AB的中点时,|PQ|的值最小,最小值为.‎ 5‎
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