高考数学复习专题练习第3讲 三角函数的图像与性质

高考数学复习专题练习第3讲 三角函数的图像与性质

第3讲 三角函数的图像与性质 一、选择题 ‎1．函数y＝的最小正周期是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．π C．2π D．4π 解析 ∵y＝＝＝tan.‎ ‎∴T＝＝2π.‎ 答案 C ‎2．函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7[来源:Zxxk.Com]‎ 解析 由于方程xcos x2＝0在区间[0,4]上的根有x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，x6＝，因此共有6个零点．‎ 答案 C ‎3．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 (　　)．‎ A．2－ B．‎0 ‎ C．－1 D．－1－ 解析　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2.∴函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.‎ 答案　A ‎4．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不[来源:学可能是(　　)‎ A. B. C．π D. 解析 画出函数y＝sin x的草图，分析知b－a的取值范围为.‎ 答案 A ‎5．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由题意可知函数f(x)的周期T＝2×＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，将x＝代入可得φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝.‎ 答案　A ‎6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是 (　　)．‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析　由f(x)＝sin(2x＋φ)，且f(x)≤对x∈R恒成立，∴f＝±1，即sin＝±1.‎ ‎∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝kπ＋(k∈Z)．‎ 又f>f(π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，‎ ‎∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.‎ ‎∴对于φ＝kπ＋(k∈Z)，k为奇数．‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋φ)＝sin＝－sin.‎ ‎∴由‎2mπ＋≤2x＋≤‎2mπ＋(m∈Z)，‎ 得mπ＋≤x≤mπ＋(m∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间是(m∈Z)．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.‎ 解析　由0≤x≤，得0≤ωx≤<，‎ 则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ＝，且0<<，‎ 所以＝，解得ω＝.‎ 答案　 ‎8．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________．‎ 解析　f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|‎ ‎＝ 画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.‎ 答案　 ‎9．已知过原点的直线与函数y＝|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点，α 是交点中横坐标的最大值，则的值为________．‎ 解析 y＝|sin x|(x≥0)的图像如图，‎ 若过原点的直线与函数y＝|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点，则第三个交点的横坐标为α，且α∈，‎ 又在区间(π，2π)上，y＝|sin x|＝－sin x，则切点坐标为(α，－sin α)，‎ 又切线斜率为－cos α，‎ 则切线方程为y＋sin α＝－cos α(x－2)‎ y＝－cos x＋αcos α＝－sin α，‎ 又直线过原点，把[0,0)代入上式得，α＝tan α ‎∴ ‎＝ ‎＝(1＋tan2α)cos2α ‎＝cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.[来源:Z&xx&k.Com]‎ 答案：1‎ ‎10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：‎ ‎①它的最小正周期为π；‎ ‎②它的图像关于直线x＝成轴对称图形；[来源:学+科+网]‎ ‎③它的图像关于点成中心对称图形；‎ ‎④在区间上是增函数．‎ 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．‎ 解析 若①、②成立，则ω＝＝2; 令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|<，故k＝0，∴φ＝.此时f(x)＝sin，当x＝时，sin＝sin π＝0，∴f(x)的图像关于成中心对称；又f(x)在上是增函数，∴在上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.‎ 答案 ①②⇒③④(也可填①③⇒②④)‎ 三、解答题 ‎11．设f(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．‎ 解　(1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知：‎ 定义域为{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}．‎ ‎(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，‎ ‎∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，‎ ‎∴f(x)的值域为[0，]，‎ 当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．‎ ‎12．已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的值域．‎ 解　(1)f(x)＝cos＋2sinsin ‎＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)‎ ‎＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x ‎＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.‎ ‎∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 得x＝＋(k∈Z)．‎ ‎∴函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．‎ ‎(2)∵x∈，∴2x－∈，‎ ‎∴－≤sin≤1.‎ 即函数f(x)在区间上的值域为.‎ ‎13．已知函数f(x)＝sin 2x＋acos2x(a∈R，a为常数)，且是函数y＝f(x)的零点．‎ ‎(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若x∈，求函数f(x)的值域，并写出f(x)取得最大值时x的值．‎ 解 (1)由于是函数y＝f(x)的零点，‎ 即x＝是方程f(x)＝0的解，‎ 从而f＝sin＋acos2＝0，‎ 则1＋a＝0，解得a＝－2.‎ 所以f(x)＝sin 2x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1，‎ 则f(x)＝sin－1，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)由x∈，得2x－∈，‎ 则sin∈，‎ 则－1≤sin≤，‎ ‎－2≤sin－1≤－1，‎ ‎∴函数f(x)的值域为[－2，－1]．‎ 当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，‎ 即x＝kπ＋π时，f(x)有最大值，‎ 又x∈，故k＝0时，x＝π，‎ f(x)有最大值－1.‎ ‎14．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋‎2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．‎ 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.‎ ‎∴sin∈，又∵a >0，‎ ‎∴－2asin∈[－‎2a，a]．∴f(x)∈[b,‎3a＋b]，‎ 又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,‎3a＋b＝1，‎ 因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，‎ g(x)＝f＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1，‎ 又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，‎ ‎∴4sin－1＞1，∴sin＞，‎ ‎∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.‎ 又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.‎ 综上，g(x)的递增区间为(k∈Z)；递减区间为(k∈Z)．‎