2021高考数学一轮复习课后限时集训58圆锥曲线中的定点定值问题理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训58圆锥曲线中的定点定值问题理北师大版

课后限时集训58‎ 圆锥曲线中的定点、定值问题 建议用时：45分钟 ‎1．(2019·大连模拟)已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．‎ ‎[解]　(1)由已知，动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明：由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.‎ 直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，‎ 由 得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，‎ Δ＝16(k－1)2>0，已知此方程一个根为1，‎ ‎∴x1×1＝＝，‎ 即x1＝，‎ 同理x2＝＝，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1－x2＝－＝－，‎ ‎∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]‎ ‎＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝，‎ ‎∴kAB＝＝＝－1，‎ ‎∴直线AB的斜率为定值－1.‎ ‎2．(2019·广州模拟)已知椭圆C：＋＝1若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B 3‎ 两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎[解]　由 ，消去y，并整理得：(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，‎ 由Δ＝‎64m2‎k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，‎ 得3＋4k2－m2>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1·x2＝ ‎∴y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，且·＝0，即y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，‎ 所以＋＋＋4＝0，‎ 整理得：‎7m2‎＋16mk＋4k2＝0，‎ 解得m1＝－2k，m2＝－，‎ 且满足3＋4k2－m2>0.‎ 当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；‎ 当m＝－时，l：y＝k，直线过定点.‎ 综上可知，直线l过定点，定点坐标为.‎ ‎3．(2019·南昌模拟)已知圆O：x2＋y2＝4，点F(1,0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点.问：在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)设PF的中点为S，切点为T，连接OS，ST，则|OS|＋|SF|＝|OT|＝2.‎ 取F′(－1,0)，连接F′P(图略)，‎ 则|F′P|＋|FP|＝2(|OS|＋|SF|)＝4.‎ 所以点P的轨迹是以F′，F为焦点、长轴长为4的椭圆，其中a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3.‎ 所以曲线C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在满足题意的定点Q.设Q(0，m)，当直线的斜率存在时直线MN的方程为y＝‎ 3‎ kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 联立得方程组 ‎ 消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋4kx－11＝0.‎ 由题意知Δ>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与直线NQ的斜率之和为0，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝＝0，‎ ‎∴2kx1x2＋(x1＋x2)‎ ‎＝2k·＋· ‎＝＝0，‎ 当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0,6)也符合题意．‎ 易知直线MN的斜率不存在时，定点Q(0,6)也符合题意．‎ ‎∴存在符合题意的定点Q，且定点Q的坐标为(0,6)．‎ 综上，存在定点(0,6)使得∠MQO＝∠NQO.‎ 3‎