上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期9月滚动（1）数学试题

上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期9月滚动（1）数学试题

上师大附中2019-2020高二数学滚动（1）‎ 一、填空题：‎ ‎1.已知，，且，则点的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标运算即可求出答案．‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的坐标为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算，是基础题．‎ ‎2.已知点，，则与向量方向相同的单位向量的坐标为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵点，，‎ ‎∴，可得，‎ 因此，与向量同方向的单位向量为：‎ 故答案为：‎ ‎3.，，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用展开，通过数量积的定义以及的范围最终求出的范围．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了向量加减法，考查了向量的模的计算，是基础题．‎ ‎4.已知向量，，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量平行的坐标表示进行计算即可。‎ ‎【详解】解：向量，，且，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，是基础题．‎ ‎5.已知向量满足，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：=,又，，代入可得8，所以 考点：向量的数量积运算.‎ ‎6.已知等腰梯形，其中，且，三个顶点，，，则点的坐标为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点的坐标，用坐标表示写出，由向量平行与相等，列出方程组，求出点的坐标．‎ ‎【详解】解：设点的坐标为，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即，①‎ 又，，‎ 即，②‎ 由①②得或，‎ 所以点的坐标为或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，也考查了向量相等与平行的坐标表示，是基础题目．‎ ‎7.设、分别是的边，上的点，，. 若 ‎（为实数），则的值是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意，，‎ ‎∴，∴，，故.‎ ‎【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.‎ ‎8.已知点，，直线上一点满足，则点坐标是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点的坐标，根据点在直线上以及，可得之间的关系，代入坐标列方程计算即可．‎ ‎【详解】解：设点坐标为，‎ 是直线上一点，‎ ‎，‎ 又，‎ 或，‎ ‎，‎ 或，‎ 解得：或，‎ 则点坐标为或．‎ 故答案：或．‎ ‎【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，关键是要根据题意找到和之间的关系，注意有两种情况，是基础题．‎ ‎9.设P为内一点，且，则的面积与面积之比为 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，作出平行四边形ACED，B为AD中点，G、F满足，．根据向量的加法法则，得到且，根据平行线的性质和三角形面积公式，分别得到△PAB的面积等于平行四边形ACED的，且△ABC的面积等于平行四边形ACED的，由此即可得到它们的面积之比．‎ ‎【详解】∵‎ 设向量，，‎ 可得 点P在以AG、AF为邻边的平行四边形的第四个顶点处，如图所示 平行四边形ACED中，‎ B为AD中点，得，‎ ‎∴△PAB的面积S1S△ADES平行四边形ACED 又∵△ABC的面积S2S平行四边形ACED ‎∴S1：S2：，即△PAB的面积与△ABC的面积的比值为 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题给出三角形中的向量关系式，求两个三角形的面积之比．着重考查了向量的加法法则、平行四边形的性质和三角形面积公式等知识，属于中档题 ‎10.如图，已知，，将绕着点逆时针方向旋转，且模伸长到模的2倍，得到向量.则四边形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将四边形的面积转化为和的和，根据条件分别求出这两个三角形的面积即可．‎ ‎【详解】解：，‎ 又，‎ ‎，‎ 为等边三角形，‎ ‎，‎ 对于，，‎ ‎，‎ 四边形的面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查面积公式的应用，是基础题．‎ ‎11.已知向量，，，实数满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的运算法则及两向量相等的公式可求出，表示出，据三角函数的有界性求出三角函数的最值．‎ 详解】解：∵， ， ， ， ， ，‎ 的最大值为9‎ ‎． 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题考查向量的运算法则，向量相等的坐标公式，以及三角函数的有界性，属基础题．‎ ‎12.在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量， ，若且，则点所有可能的位置所构成的区域面积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：作 为中点，则在内，‎ 面积为 二、选择题：‎ ‎13.在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是(　　)‎ A. 平行四边形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由知DC∥AB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.‎ 选C ‎14.已知的三个顶点、、及平面内一点满足，则点与的关系是（ ）‎ A. 在的内部 B. 在的外部 C. 是边上的一个三等分点 D. 是边上的一个三等分点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．‎ ‎【详解】解：， ， ∴是边上的一个三等分点． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件，属于基础题．‎ ‎15.设、为两个相互垂直的单位向量,已知,若△PQR为等边三角形，则k、r的取值为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】注意到 ‎.选C.‎ ‎16.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：‎ ‎，则的轨迹一定通过的(　 　)‎ A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向 与的角平分线一致，可得到，可得答案．‎ ‎【详解】、分别表示向量、方向上的单位向量 的方向与的角平分线一致 又，‎ 向量的方向与的角平分线一致 一定通过的内心 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．‎ 三、解答题：‎ ‎17.已知，，，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过与面积的比，以及它们高的比，求出它们底边的比，即与的比，可得到，设出点坐标，将用坐标表示，列方程可求出点的坐标．‎ ‎【详解】解：如图，设点坐标为，点到的距离为，点到的距离为，‎ ‎ ‎ 由平行线分线段成比例得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 点的坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查面积的比和底的比，高的比之间的关系，要熟练运用比例关系求点的坐标，是基础题．‎ ‎18.已知，，其中、、为的内角，且、、成等差数列，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角形的内角和，、、依次成等差数列，求出以及与的关系，利用二倍角与两角和与差的三角函数化简的表达式，根据角的范围求出表达式的取值范围．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ 又由已知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，以及函数值的范围的确定，考查计算能力，转化的思想，是中档题．‎ ‎19.已知函数，将的图象向左移个单位的函数的图象． 若，求的单调递增区间； 若，的一条对称轴，求，的值域．‎ ‎【答案】 ， ； ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可得，的图象向左移个单位的函数，将，可得解析式，从而求单调递增区间；‎ 根据，函数的一条对称轴，即可，的值域．‎ ‎【详解】解：由题意，可得，‎ 由图象向左移个单位，可得，‎ ‎，可得，‎ 令，．‎ 得：， 故得的单调递增区间为，．‎ 由可得，‎ 函数的一条对称轴，‎ 即，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则， ，‎ ‎，‎ 当时，取得最小值为；‎ 当时，取得最大值为；‎ 故得在的值域为：‎ ‎【点睛】本题考查了余弦函数的图象及性质的应用，属于基础题．‎ ‎20.已知、都是单位向量，与满足，其中.‎ ‎(1)用k表示；‎ ‎(2)求的最小值，并求此时、的夹角的大小.‎ ‎【答案】(1)；(2)，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对两边平方，化简即可求解;‎ ‎(2)利用基本不等式求出的最小值，再结合数量积公式求出此时、的夹角.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎ ‎ 即 ‎(2)由(1)可知 ‎ 当且仅当时，取最小值 此时、的夹角的余弦值为，‎ 所以的最小值为，此时、的夹角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.‎ ‎21.在直角坐标平面中，已知点，，，…，，其中是正整数.对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，…，‎ 为关于点的对称点.‎ ‎（1）求向量的坐标；‎ ‎（2）对任意偶数，用表示向量的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用中点坐标公式求出点，的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标；‎ ‎（2）利用向量的运算法则将以为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前项和公式求出向量的坐标．‎ ‎【详解】解：（1）设点，为关于点的对称点，‎ 的坐标为，‎ 为关于点的对称点，‎ 的坐标为，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 由于，‎ 得，‎ ‎，‎ 向量的坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、等比数列的前项和公式，综合性较强，但是难度一般．‎ ‎ ‎