福建省厦门双十中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

福建省厦门双十中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

双十中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.设是椭圆 上一点，是椭圆的焦点，若，则等于（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义，可得，可得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，椭圆 上一点，是椭圆的焦点，‎ 根据椭圆的定义，可得，‎ 又由，则，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理利用椭圆的定义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2.已知命题，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】含特称量词的命题的否定为为，使，选C.‎ ‎3.已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．‎ 详解：‎ 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．‎ ‎4.已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据三角形法则得到，再根据已知条件，应用向量的点积运算得到最终结果.‎ 详解：根据向量的基本定理得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为B.‎ 点睛：这个题目考查的是向量基本定理，以及空间向量的加减法运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”‎ ‎，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎5.当时，设命题：函数在区间上单调递增；命题：不等式对任意都成立．若“且”是真命题，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题为真时，对勾函数在上单调递增，得到不等式，当命题为真时，利用二次函数的图象得，取交集后得 ，此时“且”为真命题．‎ ‎【详解】因为“且”是真命题，所以命题与命题均为真命题，‎ 当命题真时，因为函数为双勾函数，在单调递增，‎ 所以；‎ 当命题为真时，；‎ 所以时，命题与命题均为真命题，故选B.‎ ‎【点睛】本题以函数知识为背景，考查简易逻辑，考查逻辑推理和运算求解能力，考查数形结合思想的应用．‎ ‎6.如图 分别是椭圆 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等边三角形的性质，求得A点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】由题意知A，‎ 把A代入椭圆(a＞b＞0)，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 整理，得，∴，‎ ‎∵0＜e＜1，∴，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.在正方体中，是棱的中点，为底面的中心，为棱上任一点，则直线与所成的角为 A. B. ‎ C. D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，通过向量的坐标运算得，从而得两直线垂直，即可得解.‎ ‎【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 设，，易得，，‎ 而，所以，即，‎ 所以直线与所成的角为．故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用空间向量判断两异面直线所成角，属于基础题.‎ ‎8.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的知识，可得，即三角形为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线垂直轴时，面积取得最小值.‎ ‎【详解】设，过A，B的切线交于Q，‎ 直线的方程为：，‎ 把直线的方程代入得：，‎ 所以，则，‎ 由导数的知识得：，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 因为，‎ 当时，可得的最大值为，故选B.‎ ‎【点睛】本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线过抛物线的焦点，则切线与切线互相垂直，能使运算量变得更小.‎ 二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分 ‎9.如图,正方形中,分别是的中点将分别沿折起,使重合于点.则下列结论正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 平面 C. 二面角的余弦值为 D. 点在平面上的投影是的外心 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A选项，只需取EF中点H，证明平面；对于B选项，知三线两两垂直，可知正确；对于C选项，通过余弦定理计算可判断；对于D选项，由于，可判断正误.‎ ‎【详解】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知和为等腰三角形，故,，所以平面，所以，故A正确；根据折起前后，可知三线两两垂直，于是可证平面，故B正确；根据A选项可知 为二面角的平面角，设正方形边长为2，因此，，，‎ ‎，由余弦定理得：，故C正确；由于，故点在平面上的投影不是的外心，即D错误；故答案为ABC.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.‎ ‎10.已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（ ）‎ A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为 C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.‎ ‎【详解】双曲线离心率为 故渐近线方程为，‎ 取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,‎ 则，‎ 所以则 故选BC ‎【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.‎ 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 ‎11.已知的三个顶点为，，，则边上的中线长为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：线段中点的坐标为，因此边上的中线长 考点：空间中两点间的距离公式；‎ ‎12.已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出，再求△F1PF2的面积.‎ ‎【详解】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，‎ 由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°‎ ‎12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义和余弦定理，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎13.生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.‎ ‎【详解】由“石穿”、“事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚持”,‎ 如“石穿”可能推出“化学腐蚀”;‎ 由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜利”‎ 如“水滴”可以推出“石穿”;‎ 综上所述, “石穿”、“事成”、“胜利”是“水滴”、“有志”、“坚持”必要不充分条件.‎ 故答案为:必要不充分.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能,属于基础题.‎ ‎14.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点 ‎，若，且，则此抛物线的方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，作垂直准线于点，设准线与轴交于，则，又，得，∴，所以，又，所以为的中点，所以，所以此抛物线的方程为．所以答案应填：．‎ 考点：抛物线的标准方程． ‎ ‎【思路点睛】根据过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，作垂直准线于点，设准线与轴交于，根据，且和抛物线的定义，可得，易知为的中位线，而可求得，即求得抛物线的方程．本题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．属于中档题．‎ ‎15.设,是正方体的棱和的中点,在正方体的条面对角线中,与截面成角的对角线的数目是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面的法向量,求解面对角线和的夹角,即可求得答案.‎ ‎【详解】以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴 设正方体棱长为2,如图:‎ 则 ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当面对角线与截面成角,‎ ‎ 需保证直线与法向量的夹角为,即其余弦值 设平面的法向量 ‎ 可得: ,取 ‎ ‎ ,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面的法向量夹角即可.‎ ‎ 平面中与平行,故不符合题意.‎ 综上所述,符合题意的面对角线为:共条.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.‎ ‎16.已知函数,,若,,使得,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若,,使得,即需保证,.根据函数单调性分别求取和,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】 函数,是对号函数, ‎ ‎ 当,‎ ‎ 函数是单调增函数 ‎ 当,‎ 若,,使得,‎ 则需保证,,故 解得:‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题,掌握函数的单调性的应用和函数的最值求法是解题关键,考查等价转化思想方法与分析能力,属于中档题.‎ 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．‎ ‎(1)求|AB|；‎ ‎(2)求△AOB的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.‎ ‎(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.‎ ‎【详解】解：(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．‎ 直线AB的方程为．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0.‎ ‎∴，.‎ ‎∴‎ ‎(2)直线AB的方程变形为.‎ ‎∴原点O到直线AB的距离为.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.如图,直三棱柱,底面中,,,棱,、分别是、的中点.‎ ‎（1）求的长;‎ ‎（2）求的值;‎ ‎（3）求证:.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点,建立空间直角坐标系,依题意得,‎ ‎,根据空间两点间距离公式: ,即可求得的长.‎ ‎（2）求出和,根据,即可求得的值.‎ ‎（3）求出和,的值,根据向量垂直与数量积的关系时,,即可求证.‎ ‎【详解】（1）以为原点,建立空间直角坐标系.如图:‎ 依题意得，，‎ 根据空间两点间距离公式: ‎ ‎ .‎ ‎（2）依题意得:,,,.‎ ‎,,,,，‎ ‎.‎ ‎（3）依题意得,‎ ‎,.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量数量积的坐标运算,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎19.设a，命题p：x，满足,命题q：x，.‎ ‎(1若命题是真命题，求a的范围；‎ ‎2为假，为真，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出命题p，q成立的等价条件，‎ ‎（1）然后根据若p、q为真命题，列式计算，‎ ‎（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分别求出确实实数m的取值范围即可．‎ 详解】解：1真，则或得；‎ q真，则，得，‎ 真，；‎ ‎2由为假，为真、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则 得，‎ 若p真q真，则，‎ 所以，‎ 综上或．‎ 故a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎20.设抛物线的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设过点的直线分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且，求四边形面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）48.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得：圆的半径，从而求出值，得到抛物线方程；‎ ‎（2）设出和的方程，分别与抛物线联立方程，消去，得到关于的一元二次方程，写出韦达定理，利用弦长公式求出、的长，从而表示出四边形面积，利用二次函数的性质求出最小值．‎ ‎【详解】由于过点 作垂直于 轴的直线与抛物线交于两点，则，‎ 以线段为直径圆过点，则圆的半径， 解得：,‎ 故抛物线的方程为. ‎ ‎（2）设直线的方程为，联立，消去得：‎ ‎，设点，则，，‎ 所以，‎ 同理可得：，‎ 则四边形的面积：‎ ‎.‎ 令，则 当，即时，，四边形DGEH面积的最小值为48．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程的求法以及圆锥曲线中的弦长公式，考查学生设而不求的思想，有一定难度．‎ ‎21.如图所示,已知在矩形中,,,平面,且.‎ ‎（1）问当实数在什么范围时,边上能存在点,使得？‎ ‎（2）当边上有且仅有一个点使得时,求二面角的余弦值大小.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立坐标系,设点,则,,由,可得,显然当该方程有非负实数解时,边上才存在点,使得,,即可求得的范围.‎ ‎（2）求平面的一个法向量是和平面的一个法向量是,由,即可求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）以为坐标原点,、、分别为、、轴建立坐标系如图所示:‎ ‎ ,,‎ ‎ ,,.‎ 设点,则,.‎ 由,得.‎ 显然当该方程有非负实数解时,边上才存在点,使得,‎ 故只须.‎ ‎ ,故的取值范围为.‎ ‎（2）易见,当时,上仅有一点满足题意,‎ 此时,即为的中点,‎ 得:,,.‎ 设平面的一个法向量是,‎ 则,,‎ ‎,,‎ ‎ ,取,,,所以.‎ 又平面的一个法向量是.‎ ‎ ,‎ ‎ 二面角余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了由向量垂直求参数和求两平面二面角余弦值.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解.掌握二面角的法向量的求是解本题的关键.考查了空间想象能力和计算能力.‎ ‎22.设相互垂直直线，分别过椭圆的左、右焦点，，且与椭圆的交点分别为、和、.‎ ‎（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；‎ ‎（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出线段的中点坐标，利用弦长公式计算出，于此得出圆心坐标和半径长，再写出圆的标准式方程；‎ ‎（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，分别计算出和，可计算出的值，在直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为 ‎，将该直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及韦达定理计算出，同理计算出，代入题中等式计算出的值，从而说明实数存在．‎ ‎【详解】（1）由题意可设的方程为，代入可得． ‎ 所以，的中点坐标为． 　‎ 又， ‎ 所以，以为直径的圆的方程为． ‎ ‎（2）假设存在常数，使得恒成立． ‎ ‎①当与轴垂直或与轴垂直时，‎ ‎；‎ ‎②设直线的方程为，则直线的方程为．‎ 将的方程代入得：． ‎ 由韦达定理得：，，‎ 所以． ‎ 同理可得． ‎ 所以． ‎ 因此，存在，使得恒成立．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查弦长公式、圆的标准方程，计算量大，解题的易错点就是计算，计算时可充分利用因式分解等一些常规步骤来操作，另外在设直线方程时也可以掌握一些技巧，降低运算量．‎ ‎ ‎