2019-2020学年广西桂林市第十八中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年广西桂林市第十八中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广西桂林市第十八中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过A和B，然后交集运算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，难度很小.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为 所以 解得，即 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数定义域的应用问题，属于基础题.‎ ‎3．已知集合，为实数集，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先求出集合，再根据补集的定义计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集的运算，属于基础题.‎ ‎4．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的奇偶性及单调性的定义判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：在中，是奇函数，在定义域上单调递减，故正确；‎ 在中，在其定义域是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，故错误；‎ 在中，是奇函数，减区间为，，故错误．‎ 在中，定义域为，不具有奇偶性，且在定义域上单调递减，故错误；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属于基础题．‎ ‎5．函数的零点所在的区间是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：记，则 所以零点所在的区间为 ‎【考点】本题主要考查函数的零点存在定理.‎ 点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题.‎ ‎6．已知函数的图象经过点，则（ ）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据幂函数的图象经过点，求得幂函数的解析式即可．‎ ‎【详解】‎ 幂函数的图象经过点，‎ ‎，‎ 幂函数，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．‎ ‎7．已知函数，则（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据分段函数解析式，首先求出，再求.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求函数值，关键是由内到外层层计算，属于基础题.‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为8，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于的方程，解得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，‎ 其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，‎ 故底面面积，‎ 高为，‎ 故这个几何体的体积为，‎ 解得：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，属于基础题．‎ ‎9．已知，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数函数和对数函数的性质求解．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数，对数函数的性质，属于基础题.‎ ‎10．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的奇偶性及特殊值即可判断.‎ ‎【详解】‎ 解：，定义域为 ‎，所以为奇函数，图象关于原点对称，故错误；‎ 且当时，，，所以，故错误；‎ ‎，，故错误，正确；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的识别，函数奇偶性的应用，属于基础题.‎ ‎11．已知函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同便知，在上是增函数，由 ，则，从而可得）（）时的取值范围，再分类讨论解得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，，‎ 根据奇函数的性质得，函数在上是增函数且，‎ 即当时，‎ 当时，，‎ 要使则或 即解得，或解得 综上可得 ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，若存在，使得对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二次函数的性质分类讨论即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：对称轴为 当即时，对任意的，，则 ‎，则任意，总存在，使得，不符题意；‎ 当即时，对任意的，，‎ 则在上单调递增，‎ 则存在使得对任意，都有，满足条件；‎ 故 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的性质，分类讨论思想，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知球的半径为1，则球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接代入球的表面积公式，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：球的半径，‎ 球的表面积为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查球的表面积公式，属于基础题．‎ ‎14．已知函数，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据函数解析式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的计算，属于基础题.‎ ‎15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据抽象函数的定义域的计算规则计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数的定义域为 解得 故函数的定义域为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的定义域的计算，属于基础题.‎ ‎16．已知函数有5个零点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数的零点转化为方程的解，要使函数有5个零点，根据偶函数的性质可得必为其中一个零点，即可求出的值，再根据一元二次方程根的分布得到不等式组即可解得.‎ ‎【详解】‎ 解：函数的零点，即方程的解 即 为偶函数，‎ 要使函数有5个零点 即有5个零点，‎ 根据偶函数的对称性质，则必为的一个零点；‎ 即有5个解 则必为方程的解 令 ，所以且 即有一个根为，有两个根大于零且不等于；‎ 当时，得解得 即有两个大于零且不等于的根；‎ 当时，即不可能是方程的解 解得或，‎ 即 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点，函数方程思想，一元二次方程根的分布问题，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．化简下列各式 ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）将根式化成分数指数幂的形式，再根据指数幂的运算法则计算可得；‎ ‎（2）利用换底公式及对数的运算法则计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分数指数幂的运算，对数的运算及性质的应用，属于基础题.‎ ‎18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）连接交于，连接，可知，从而得证；‎ ‎（2）根据，计算可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接交于，连接，则是的中位线 ‎∴‎ ‎∵平面，平面 ‎∴平面 ‎（2）∵‎ ‎∵‎ ‎∴三棱锥的体积为 ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明及锥体的体积计算，属于基础题.‎ ‎19．为节约能源，某市居民生活用电规定：当每户每月用电不超过180度时，按每度0.5元收费；当每户每月用电超过180度时，超过的部分按每度0.8元收费.‎ ‎（1）设用户每月实际用电度，所收电费为元，写出关于的函数解析式；‎ ‎（2）若某用户某月电费为106元，求该用户这个月的实际用电.‎ ‎【答案】（1）（2）200度 ‎【解析】（1）由题意，利用分段函数写出月用电量（度与每月电费（元之间的函数关系式；‎ ‎（2）先确定用电量的大致的范围，再求用电量即可 ‎【详解】‎ 解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 答：该用户这个月的实际用电为度 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若，求的取值范围;‎ ‎（2）设，其中，若，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】（1）首先求出的解析式，再根据对数函数的性质计算可得.‎ ‎（2）首先求出的解析式，，令，，设则问题转化为求函数在上的值域，再根据对称轴分类讨论即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 由 得 ‎∴‎ ‎∴的取值范围为 ‎（2）‎ 令，∵，∴‎ 设 问题转化为求函数在上的值域 函数的对称轴为，∵，∴‎ ‎①当，即时 ‎，‎ ‎∴的值域为.‎ ‎②当，即时 ‎，‎ ‎∴的值域为 ‎③当，即时 在上是减函数 ‎∴‎ ‎∴的值域为 综上，①当时，的值域为 ‎②当时，的值域为 ‎③当时，的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的性质，二次函数在给定区间上的值域问题，属于中档题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）证明:函数在上是减函数;‎ ‎（2）若对任意，都有，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤进行即可；‎ ‎（2）将问题转化为即，等价于，再根据函数的单调性将问题转化为：对任意，恒成立，根据二次函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：任取，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴即 ‎∴函数在上是减函数 ‎（2）由得 即 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵，且在上是减函数 ‎∴即 问题转化为：对任意，恒成立 设 ‎∵的图象开口向上，要使任意，恒成立，则 ‎∴‎ ‎∴的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性的证明，利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式以及二次函数的性质，属于难题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若是奇函数，求的值；‎ ‎（2）设，若，证明：函数在内至少有2个零点.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】（1）首先求出函数的定义域，再根据函数的奇偶性得到得到方程即可解得；‎ ‎（2）首先求出的解析式，再根据零点存在性定理，计算出、、函数值，即可证明；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：，，‎ ‎∴的定义域为，‎ ‎∴的定义域关于原点对称 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）证明：，，‎ ‎∵‎ ‎∴，，又在上连续 ‎∴在，各至少有一个零 ‎∴在内至少有2个零点 ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用，函数零点存在性定理的应用，属于中档题.‎