数学卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次段考数学试卷（理科）+（解析版）

数学卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次段考数学试卷（理科）+（解析版）

‎2016-2017学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每题5分，满分60分）‎ ‎1．△ABC的顶点A（5，0），B（﹣5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（　　）‎ A．an=3n﹣1 B．an=2n﹣1 C．an=3n D．an=2n﹣1‎ ‎3．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且，则等于（　　）‎ A． ++ B． ++‎ C． ++ D． ++‎ ‎4．已知数列{an}满足，前n项的和为Sn，关于an，Sn叙述正确的是（　　）‎ A．an，Sn都有最小值 B．an，Sn都没有最小值 C．an，Sn都有最大值 D．an，Sn都没有最大值 ‎5．已知等比数列{an}中，a2•a8=4a5，等差数列{bn}中，b4+b6=a5，则数列{bn}的前9项和S9等于（　　）‎ A．9 B．18 C．36 D．72‎ ‎6．数列1，2，3，4…前n项的和为（　　）‎ A． + B．﹣++1‎ C．﹣+ D．﹣+‎ ‎7．过空间中一定点，作一直线，使其与某正方体六个面所成的角都相等，这样的直线有几条（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．无数条 ‎8．已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）‎ A．6 B． C． D．4+2‎ ‎9．已知F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C． D．‎ ‎10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱DD1的中点．则异面直线EF与BD1所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知圆的方程为x2+y2=4，若抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆C与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每题5分，满分20分）‎ ‎13．数列{an}的通项公式，其前n项和时Sn=9，则n等于　　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=　　．‎ ‎15．已知∠AOB=90°，C为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为　　．‎ ‎16．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于不同的两点A，B，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n，求an以及Sn．‎ ‎18．设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，BB1的中点．如图，以D为坐标原点，，，为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若点M，N分别是线段A1E与线段D1F上的点，问是否存在直线MN，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1（n≥2）．‎ ‎（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点F是椭圆C1的顶点．‎ ‎（I）求C1与C2′的标准方程；‎ ‎（II）已知直线y=kx+m与C2相切，与C1交于P，Q两点，且满足∠PFQ=90°，求k的值．‎ ‎21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为矩形，AB=2，AA1=4，D在棱AA1上，且4AD=AA1，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面A1ABB1．‎ ‎（I）证明：BC⊥AB1；‎ ‎（II）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角．‎ ‎22．已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）求|AB|•|MN|的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每题5分，满分60分）‎ ‎1．△ABC的顶点A（5，0），B（﹣5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】首先根据△ABC的周长是22，且A（5，0），B（﹣5，0），进一步确定|AC|+|BC|=26＞|AB|，判断顶点C的轨迹是以A（0，﹣5），B（0，5）为焦点以原点为中心，x轴和y轴为对称轴的椭圆．进一步根据a、b、c的关系求出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：已知△ABC的周长是22，且A（5，0），B（﹣5，0），‎ 则|AB|=10，|AC|+|BC|=12＞|AB|=10‎ 所以△ABC的顶点C的轨迹是以A（5，0），B（﹣5，0）为焦点，‎ 以原点为中心，以x轴和y轴为对称轴的椭圆．‎ 椭圆方程设为：（a＞b＞0）‎ 令|AC|+|BC|=12=2a 解得：a=6，‎ 令|AB|=10=2c 解得：c=5‎ 进一步解得：b2=a2﹣c2=36﹣25=11‎ 求得△ABC的顶点C的轨迹方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（　　）‎ A．an=3n﹣1 B．an=2n﹣1 C．an=3n D．an=2n﹣1‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别得出，即可得出{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为：a1=1，a2=3，a3=3×3=32，a4=32×3，‎ 因此{an}的通项公式可以是：an=3n﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且，则等于（　　）‎ A． ++ B． ++‎ C． ++ D． ++‎ ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】如图所示，， =+， =， =+， =， =，代入化简即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎， =+， =， =+， =， =，‎ ‎∴==+．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知数列{an}满足，前n项的和为Sn，关于an，Sn叙述正确的是（　　）‎ A．an，Sn都有最小值 B．an，Sn都没有最小值 C．an，Sn都有最大值 D．an，Sn都没有最大值 ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案．‎ ‎【解答】解：①∵，∴当n≤5时，an＜0且单调递减；当n≥6时，an＞0，且单调递减．故当n=5时，a5=﹣3为最小值；‎ ‎②由①的分析可知：当n≤5时，an＜0；当n≥6时，an＞0．故可得S5最小．‎ 综上可知：．an，Sn都有最小值．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．已知等比数列{an}中，a2•a8=4a5，等差数列{bn}中，b4+b6=a5，则数列{bn}的前9项和S9等于（　　）‎ A．9 B．18 C．36 D．72‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的性质结合已知求得a5=4，代入b4+b6=a5‎ ‎，进一步代入等差数列的求和公式得答案．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是等比数列，‎ ‎∴a2•a8=，‎ 又a2•a8=4a5，‎ ‎∴，‎ 解得a5=4．‎ ‎∴b4+b6=a5=4．‎ ‎∵数列{bn}是等差数列，‎ ‎∴数列{bn}的前9项和S9==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．数列1，2，3，4…前n项的和为（　　）‎ A． + B．﹣++1‎ C．﹣+ D．﹣+‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用分组求和法求解．‎ ‎【解答】解：数列1，2，2，4…前n项的和：‎ S=（1+2+3+4+…+n）+（）‎ ‎=‎ ‎=﹣++1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．过空间中一定点，作一直线，使其与某正方体六个面所成的角都相等，这样的直线有几条（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．无数条 ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】根据在正方体中，体对角线与各个面成等角，再利用平行线与平面成等角得出结果．‎ ‎【解答】解：正方体六个面中，相对的面互相平行．‎ 如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，‎ 研究体对角线BD′与下底面、前面，右面所成的角的关系．‎ 由正方体的结构特征，可知D′D⊥面ABCD，∴BD是 BD′在面ABCD上的射影．‎ ‎∴∠D′BD是 BD′与面ABCD所成的角．‎ 同理∠D′BA′是 BD′与面A′B′BA所成的角 ‎∠D′BC′是 BD′与面B′C′CB所成的角．‎ 由直角三角形全等的HL判定定理，可知△D′BD≌△D′BA′≌△D′BC′，‎ ‎∴∠D′BD=∠D′BA′=∠D′BC′．‎ 所以对角线BD′与下底面、前面，右面所成的角相等，‎ 从而对角线BD′与正方体六个面所成的角都相等．‎ 同样证明得出其余三条体对角线也与正方体六个面所成的角都相等．‎ 所以过空间一点且与体对角线平行的直线与正方体六个面成等角．共有4条．‎ 故选C ‎　‎ ‎8．已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）‎ A．6 B． C． D．4+2‎ ‎【考点】抛物线的定义．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，‎ ‎∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，‎ 又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；‎ 坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）‎ 则|PA|+|PO|的最小值为：‎ ‎|AB|==‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由△ABF1为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠AF1F2=30°，又∠F1AF2=90°，可得AF2，AF1，利用椭圆的定义可得：c+=2a，即可得出．‎ ‎【解答】解：由△ABF1为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠AF1F2=30°，‎ 又∠F1AF2=90°，‎ ‎∴AF2=c，AF1=c，‎ ‎∴c+=2a，可得==﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱DD1的中点．则异面直线EF与BD1所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以AB、AD、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，可得B、D1、E、F各点的坐标，从而得到和的长度和数量积，利用空间向量的夹角公式求出它们所成角的余弦，即可得到异面直线EF与BD1所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：以AB、AD、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，‎ 则B（1，0，0），D1（0，1，1），E（1，，0），F（0，1，）‎ ‎∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，，）‎ 可得=， =‎ ‎•=（﹣1）×（﹣1）+1×+1×=2‎ 设异面直线EF与BD1所成角为θ，则cosθ=||=‎ 故选B ‎　‎ ‎11．已知圆的方程为x2+y2=4，若抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后求得x和y的关系式．‎ ‎【解答】解：设切点为（a，b），∴a2+b2=4，则切线为：ax+by﹣4=0‎ 设焦点（x，y），由抛物线定义可得：（x﹣1）2+y2= …①，‎ ‎（x+1）2+y2 = …②，‎ 消去a得：故抛物线的焦点轨迹方程为（y≠0）‎ ‎（依题意焦点不能与A，B共线∴y≠0．）‎ 故抛物线的焦点轨迹方程为 故选C ‎　‎ ‎12．椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆C与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据，可得a越小e越大而椭圆与直线相切时a最小，将直线方程与椭圆方程联立，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，c=1，‎ ‎∴，‎ ‎∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小 设椭圆为，把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2m﹣1）x2+6mx+10m﹣m2=0‎ ‎ 由△=0，解得：m=5，‎ 于是a=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每题5分，满分20分）‎ ‎13．数列{an}的通项公式，其前n项和时Sn=9，则n等于　99　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】根据题意，数列的通项公式可转化an=﹣，进而可得Sn=（﹣）﹣（﹣）+…+（﹣1）=﹣1，已知Sn=9，即﹣1=9，解可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意， =﹣，‎ 则Sn=（﹣）﹣（﹣）+…+（﹣1）=﹣1，‎ 若Sn=9，即﹣1=9，‎ 解可得n=99；‎ 故答案为99．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知△‎ ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=　　．‎ ‎【考点】椭圆的定义；正弦定理．‎ ‎【分析】先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．‎ ‎【解答】解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8‎ 由正弦定理得=‎ 故答案为 ‎　‎ ‎15．已知∠AOB=90°，C为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为　　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】由对称性点C在平面AOB内的射影D必在∠AOB的平分线上，作DE⊥OA于E，根据线面所成角的定义可知∠COD为直线OC与平面AOB所成角，在三角形COD中求解此角即可．‎ ‎【解答】解：由对称性点C在平面AOB内的射影D必在∠AOB的平分线上 作DE⊥OA于E，连接CE则由三垂线定理CE⊥OE，‎ 设DE=1，又∠COE=60°，CE⊥OE⇒OC=2，‎ 所以，‎ 因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值．‎ ‎　‎ ‎16．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞‎ ‎0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于不同的两点A，B，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．‎ ‎【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=|BE|，‎ ‎∵|BE|﹣|BF|=2a，‎ ‎∴|BE|﹣|BE|=|BE|=2a，‎ 则|BE|=10a，|BF|=8a，‎ ‎∵抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，‎ ‎∴=c，且x=﹣c是抛物线的准线，‎ 则|BD|=|BF|=8a，‎ 设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，‎ 代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），‎ 则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），‎ 在直角三角形BDE中，‎ BE2=DE2+BD2，‎ 即100a2=64a2+4c（8a﹣c），‎ 即36a2﹣32ac+4c2=0，‎ 即c2﹣8ac+9a2=0，‎ 解e2﹣8e+9=0，‎ 得e=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n，求an以及Sn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】推导出2an﹣an﹣1=2，n≥2，从而数列{an﹣2}以﹣1为首项，为公比的等比数列，由此能求出结果．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 解：∵Sn+an=2n，①‎ ‎∴Sn﹣1+an﹣1=2（n﹣1），n≥2②‎ 由①﹣②得，2an﹣an﹣1=2，n≥2，…‎ ‎∴2（an﹣2）=an﹣1﹣2，n≥2，‎ ‎∵a1﹣2=﹣1，‎ ‎∴数列{an﹣2}以﹣1为首项，为公比的等比数列．…‎ ‎∴，∴，…‎ ‎∵Sn+an=2n，∴…．‎ ‎　‎ ‎18．设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，BB1的中点．如图，以D为坐标原点，，，为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若点M，N分别是线段A1E与线段D1F上的点，问是否存在直线MN，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用空间直角坐标系中点及向量坐标表示，计算•即可；‎ ‎（Ⅱ）存在唯一直线MN，使MN⊥平面ABCD，利用平面ABCD的法向量求出点M，N的坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为 A1（2，0，2），E（1，2，0），D1（0，0，2），F（2，2，1），‎ ‎=（﹣1，2，﹣2），=（2，2，﹣1），…‎ 所以；…‎ ‎（Ⅱ）存在唯一直线MN，使MN⊥平面ABCD；‎ 设M（x1，y1，z1），N（x2，y2，z2），‎ 且，；‎ 则（x1﹣2，y1，z1﹣2）=λ（﹣1，2，﹣2），‎ ‎（x2，y2，z2﹣2）=t（2，2，﹣1），‎ 所以M（2﹣λ，2λ，2﹣2λ），N（2t，2t，2﹣t），‎ 故，…‎ 若MN⊥平面ABCD，‎ 则与平面ABCD的法向量=（0，0，1）平行，‎ 所以，‎ 解得；‎ 所以点M，N的坐标分别是（，，），（，，）．…‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1（n≥2）．‎ ‎（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（I）n≥2时，Sn﹣1=3（n﹣1）2+8（n﹣1），an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=5，不满足an=6n+5，即可求得数列{an}通项公式，an=bn+bn+1，n≥2，an﹣1=bn﹣1+bn，n≥3，an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．即可求得d的值，a2=b2+b3，求得b2=7，根据等差数列的性质，即可求得数列；‎ ‎（II）令=3（n+1）•2n，采用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，‎ ‎∴n≥2时，Sn﹣1=3（n﹣1）2+8（n﹣1），‎ an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，‎ n=1时，a1=S1=5，不满足an=6n+5，‎ ‎∴；…‎ 设{bn}公差为d，an=bn+bn+1，n≥2‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn，n≥3‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．‎ ‎∴2d=6，‎ ‎∴d=3，‎ ‎∵a2=b2+b3，‎ ‎∴17=2b21+3，‎ ‎∴b2=7，‎ ‎∴bn=3n+1；…‎ ‎（Ⅱ）cn=3（n+1）•2n，‎ ‎∴Tn=3[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，‎ ‎∴2Tn=3[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，‎ ‎①﹣②可得﹣Tn=3[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]‎ ‎=6+3×﹣63（n+1）•2n+1，‎ ‎=（﹣3n）•2n+1‎ ‎∴Tn=3n•2n+1．‎ 数列{cn}的前n项和Tn，Tn=3n•2n+1．…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点F是椭圆C1的顶点．‎ ‎（I）求C1与C2′的标准方程；‎ ‎（II）已知直线y=kx+m与C2相切，与C1交于P，Q两点，且满足∠PFQ=90°，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的焦距，离心率求出a，c，b．即可得到椭圆C1的方程．利用抛物线的开口方向，焦点坐标求出抛物线方程．‎ ‎（2）联立直线与抛物线方程，得到m与k的方程，直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理以及向量的数量积，转化求解方程组即可得到结果．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，‎ 椭圆的离心率为，‎ ‎∴，‎ 解得，b=1，故椭圆C1的标准方程为．…‎ 又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，‎ ‎∴F（0，1），∴p=2，‎ 故抛物线C2的标准方程为x2=4y．…‎ ‎（II）由，得x2﹣4kx﹣4m=0‎ 则△=16k2+16m=0，即k2+m=0①…‎ 由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0‎ 则△=36k2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）=12（3k2﹣m2+1）＞0②‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则所以…‎ 又∠PFQ=90°‎ ‎∴‎ 即 ‎∴2m2﹣m﹣1=0，解得m=1或，…‎ 代入①可得，此时满足②‎ 故…‎ ‎　‎ ‎21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为矩形，AB=2，AA1=4，D在棱AA1上，且4AD=AA1，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面A1ABB1．‎ ‎（I）证明：BC⊥AB1；‎ ‎（II）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（I）证明：AB1⊥面BCD，即可证明BC⊥AB1；‎ ‎（II）若OC=OA，以O为原点，以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线CD与平面ABC所成角．‎ ‎【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，‎ AB=2，AA1=4，AD=1，‎ 所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=，‎ 在直角三角形ABD中，tan∠ABD═，‎ 所以∠AB1B=∠ABD，‎ 又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，‎ 所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，‎ 即BD⊥AB1，…‎ 又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，‎ 所以CO⊥AB1‎ 所以，AB1⊥面BCD，‎ 因为BC⊂面BCD，‎ 所以BC⊥AB1．…‎ ‎（Ⅱ）解：以O为原点，以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，，0），B（，0，0），C（0，0，），D（，0，0），‎ 所以（，，0），=（，0，），‎ 设平面ABC的法向量为=（x，y，z），‎ 则根据，令x=1，则y=2，z=﹣2，则，…‎ 又 设直线CD与平面ABC所成角为α，则 所以直线CD与平面ABC所成角为…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）求|AB|•|MN|的取值范围．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件，得出b=c，由圆的直径得出2a．进而得基本参数a，b，c．‎ ‎（2）直线与圆位置关系，构造直角三角形用勾股关系求得|MN|，直线与椭圆采用设而不求法，根据韦达定理求得弦长|AB|，都转化为关于斜率k的函数求取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，‎ 所以2a=4，a=2；又2b=2c，‎ 所以，‎ 所以椭圆C的方程为；…‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2，|MN|=4，|AB|•|MN|=8；…‎ 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与联立，‎ 消去y，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0；‎ 由△＞0，可得k∈R…‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ ‎|AB|=•|x1﹣x2|=•‎ ‎=•‎ ‎=•，…‎ ‎|MN|=2=2，…‎ 所以|AB|•|MN|=••2‎ ‎=4•‎ ‎=‎ 综上，|AB|•|MN|的取值范围是[4，8]．…12‎ ‎　‎