2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）

2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）

‎2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）设集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（　　）‎ A．A∩B={x|x＞0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞0} D．A∩B=∅‎ ‎3．（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0‎ ‎4．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3‎ ‎5．（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（　　）‎ A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9‎ ‎8．（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（　　）种不同的站法．‎ A．4 B．8 C．12 D．24‎ ‎9．（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎11．（5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1=2，且a1•a5=64，则数列的前n项和是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga ‎（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.‎ ‎13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）=　 　．‎ ‎14．（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=　 　．‎ ‎15．（5分）已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x上，则△AOB的边长是　 　．‎ ‎16．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则的最小值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．‎ ‎（Ⅰ）求∠C；‎ ‎（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．‎ ‎18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=PD，∠APD=90°．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎19．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表．‎ 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 美国高中生 合计 ‎（Ⅰ）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；‎ ‎（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望．‎ 附：，其中n=a+b+c+d．‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；‎ ‎（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．‎ ‎21．（12分）已知f（x）=ex﹣ax2﹣2x，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若f'（x）≥﹣ax﹣1恒成立，求a的值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且 ‎．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ ‎22．（10分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|．‎ ‎（Ⅰ）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）＞1；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．‎ ‎　‎ ‎2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴复数的实部为，虚部为，‎ ‎∴复数的实部与虚部之积为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（　　）‎ A．A∩B={x|x＞0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞0} D．A∩B=∅‎ ‎【解答】解：集合A={x|x＞1}，‎ B={x|2x＞1}={x|x＞0}，‎ 则A∩B={x|x＞1}；‎ A∪B={x|x＞0}．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0‎ ‎【解答】解：命题若p则q的逆否命题为：若￢q，则￢p，‎ 即命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3‎ ‎【解答】解：输出才结果为零，有y=0‎ 由程序框图可知，当：y=（）x﹣8=0时，解得选x=﹣3；‎ 当y=2﹣log3x=0，解得x=9．‎ 综上，有x=﹣3，或者9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，‎ 圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin=；‎ 则所求的概率为P==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径r=2，高为2的圆锥的一半，如图，‎ ‎∴该几何体的体积为：‎ V==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（　　）‎ A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9‎ ‎【解答】解：作出x、y满足约束条件 对应的平面区域，‎ 由，得y=﹣x+z，‎ 平移直线y=﹣x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，‎ 直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．‎ 由，得A（0，1），‎ 此时z的最大值为z=+1=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（　　）种不同的站法．‎ A．4 B．8 C．12 D．24‎ ‎【解答】解：根据题意，分2步分析：‎ ‎①，先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有 C41=4种选法，‎ ‎②‎ ‎，对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，‎ 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，‎ 因此三个人调换有2种调换方法．‎ 故不同的调换方法有4×2=8，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=+sin2x+3•=2+sin2x+cos2x ‎=2+sin（2x+），‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤π+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ 结合，可得增区间为（0，]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【解答】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x﹣4）2+y2=4相切，‎ 可得：=2，‎ 可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c2﹣4a2=c2，‎ 解得e==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1=2，且a1•a5=64，则数列的前n项和是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：在各项都为正数的公比设为q的等比数列{an}中，‎ 若a1=2，且a1•a5=64，‎ 则4q4=64，解得q=2，‎ 则an=2n，‎ 可得数列，‎ 即为{}，‎ 可得=﹣，‎ 数列的前n项和是 ‎﹣+﹣+…+﹣‎ ‎=1﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）‎ ‎【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），‎ ‎∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），‎ ‎∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．‎ 又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，‎ 若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有4个不同的实数解，‎ 则函数y=f（x）与y=loga（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：‎ 又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，‎ 则对于函数y=loga（x+2），‎ 由题意可得，当x=6时的函数值小于1，‎ 即loga8＜1，‎ 由此解得：a＞8，‎ ‎∴a的范围是（8，+∞）‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.‎ ‎13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）=　0.8　．‎ ‎【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），‎ ‎∴曲线关于x=1对称，‎ ‎∵P（ξ＞3）=0.2，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞3），‎ ‎∴P（ξ≥﹣1）=1﹣P（ξ＞3）=1﹣0.2=0.8．‎ 故答案为：0.8‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=　44.5　．‎ ‎【解答】解：设S=sin21°+sin22°+…+sin289°，‎ 则S=sin289°+sin288°+…+sin21°，‎ 两式倒序相加，得：‎ ‎2S=（sin21°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin289°+sin21°）‎ ‎=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+coss289°）‎ ‎=89，‎ ‎∞S=44.5．‎ 故答案为：44.5．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x上，则△AOB的边长是　6　．‎ ‎【解答】解：由抛物线的对称性可得∠AOx=30°，‎ ‎∴直线OA的方程为y=x，联立，解得A（9，3）．‎ ‎∴|AO|==6．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则的最小值是　﹣1　．‎ ‎【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，‎ ‎△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，‎ 斜边BC=2，‎ 则A（0，），B（﹣，0），C（，0），‎ 设P（x，y），‎ 则+=2=（﹣2x，﹣2y），‎ ‎=（﹣x，﹣y），‎ ‎∴=2x2+2y2﹣2y ‎=2x2+2（y﹣）2﹣1，‎ ‎∴当x=0，y=时，则取得最小值﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．‎ ‎（Ⅰ）求∠C；‎ ‎（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB，‎ 又sinA=sin（B+C），‎ ‎∴2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，‎ ‎∴2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB，‎ ‎∴2sinBcosC+sinB=0，（sinB＞0）‎ ‎∴，‎ 又C∈（0，π）∴；‎ ‎（Ⅱ）由面积公式可得，‎ 即ab=2，‎ ‎∴ab=8，‎ c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab=36﹣8=28，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=PD，∠APD=90°．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD．‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．‎ 又∵AP⊂平面PAD，∴CD⊥AP．‎ ‎∵PD⊥AP，CD∩PD=D，∴AP⊥平面PCD．‎ ‎∵AP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）解：取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，‎ 可得PO⊥底面ABCD，OQ⊥AD，‎ 以O为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，‎ 不妨设正方形的边长为2，可得A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，1），‎ 设平面APB的一个法向量为，‎ 而，，‎ 则，即，取x1=1，得；‎ 设平面BCP的一个法向量为，‎ 而，，‎ 则，即，取y2=1，得，‎ ‎∴=，‎ 由图知所求二面角为钝角，‎ 故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表．‎ 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 美国高中生 合计 ‎（Ⅰ）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；‎ ‎（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望．‎ 附：，其中n=a+b+c+d．‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；‎ 在家 其他 合计 中国 ‎22‎ ‎33‎ ‎55‎ 美国 ‎9‎ ‎36‎ ‎45‎ 合计 ‎31‎ ‎69‎ ‎100‎ 根据表中数据，计算=，‎ ‎∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；‎ ‎（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，‎ ‎∴X的可能取值为0，1，2；‎ 计算，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ P 数学期望为：．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；‎ ‎（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设P（x，y），则N（x，0），，‎ 又∵，∴，‎ 由M在椭圆上，得，即；‎ ‎（Ⅱ）证明：当l1与x轴重合时，|AB|=6，，‎ ‎∴．‎ 当l1与x轴垂直时，，|CD|=6，‎ ‎∴．‎ 当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），‎ 此时设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），‎ 把直线l1与曲线E联立，‎ 得（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72=0，‎ 可得△=（﹣18k2）2﹣4（8+9k2）（9k2﹣72）＞0．‎ ‎，．‎ ‎∴，‎ 把直线l2与曲线E联立，‎ 同理可得．‎ ‎∴为定值．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知f（x）=ex﹣ax2﹣2x，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若f'（x）≥﹣ax﹣1恒成立，求a的值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵要使参数a对函数值不发生影响，∴必须保证x=0，‎ 此时f（0）=e0﹣a×02﹣2×0=1，所以函数的图象恒过点（0，1）．‎ ‎（Ⅱ）依题意得：ex﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立，‎ ‎∴ex≥ax+1恒成立．‎ 构造函数g（x）=ex﹣ax﹣1，‎ 则g（x）=ex﹣ax﹣1恒过（0，0），g'（x）=ex﹣a，‎ ‎①若a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在R上递增，‎ ‎∴ex≥ax+1不能恒成立．‎ ‎②若a＞0时，g'（x）=0，∴x=lna．‎ ‎∵x∈（﹣∞，lna）时，g'（x）＜0，函数g（x）=ex﹣ax﹣1单调递减；‎ x∈（lna，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）=ex﹣ax﹣1单调递增，‎ ‎∴g（x）在x=lna时为极小值点，g（lna）=a﹣alna﹣1，‎ ‎∴要使ex﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立，只需a﹣alna﹣1≥0．‎ 设h（a）=a﹣alna﹣1，则函数h（a）恒过（1，0），h'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，‎ a∈（0，1），h'（a）＞0，函数h（a）单调递增；a∈（1，+∞），h'（a）＜0，函数h（a）单调递减，‎ ‎∴h（a）在a=1取得极大值0，‎ ‎∴要使函数h（a）≥0成立，只有在a=1时成立．‎ 证明（Ⅲ）f'（x）=ex﹣2x﹣2，‎ 设m（x）=ex﹣2x﹣2，‎ ‎∴m'（x）=ex﹣2，‎ 令m'（x）＞0，x＞ln2‎ ‎∴m（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，‎ m（ln2）=﹣2ln2＜0，‎ ‎∴f'（x）=m（x）=ex﹣2x﹣2在x=ln2处取得极小值，‎ 可得f'（x）一定有2个零点，分别为f（x）的一个极大值点和一个极小值点，‎ 设x0为函数f（x）的极小值点，则x0∈（0，2），‎ ‎∴f'（x0）=0，，‎ ‎=‎ ‎∵m（2）=e2﹣2×2﹣2=e2﹣6＞0，，‎ ‎∴在区间上存在一个极值点，‎ ‎∴最小极值点在内．‎ ‎∵函数f（x）的极小值点的横坐标，‎ ‎∴函数f（x）的极小值，‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ ‎22．（10分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ）‎ 又点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ ‎∴2ρ=8cosθ，‎ 化简，得点M的轨迹C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为 点（2，0）到直线的距离为：，‎ ‎∴△OAB面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|．‎ ‎（Ⅰ）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）＞1；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=1时，．‎ 不等式f（x）＞1为|x+1|﹣|x﹣1|＞1．‎ ‎①当x≥1时，因为不等式为x+1﹣x+1=2＞1，所以不等式成立，‎ 此时符合；符合要求的不等式的解集为{x|x≥1}；‎ ‎②当﹣1≤x＜1时，因为不等式为x+1+x﹣1=2x＞1，所以，‎ 此时，符合不等式的解集为；‎ ‎③当x≥1时，因为不等式为﹣x﹣1+x﹣1=﹣2＞1不成立，解集为空集；‎ 综上所述，不等式f（x）＞1的解集为．‎ ‎（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||x+a|﹣|x﹣b||≤|a+b|，a＞0，b＞0‎ ‎∴a+b=2．‎ ‎∴，‎ 当且仅当a=b=1时，等号成立．‎ 另解：（Ⅱ）因为a＞0，b＞0，所以﹣a＜0＜b，‎ 所以函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|=|x﹣（﹣a）|﹣|x﹣b|=，‎ 所以函数f（x）的图象是左右两条平行于x轴的射线和中间连结成的线段，‎ 所以函数的最大值等于a+b，所以a+b=2．‎ ‎∵a+b=2，‎ ‎∴．‎ 或者=，‎ 当且仅当a=2﹣a，即a=1时，“等号”成立．‎ ‎　‎