数学卷·2018届山东省青岛市黄岛区第一中学高二3月月考（2017-03）

数学卷·2018届山东省青岛市黄岛区第一中学高二3月月考（2017-03）

‎ 2016-2017学年度第二学期月考卷 ‎（数学理科） 2017.3.23‎ ‎ 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.由“，，”得出：“若且，则”这个 推导过程使用的方法是 A．数学归纳法 B．演绎推理 C．类比推理 D．归纳推理 ‎2. 用数学归纳法证明：“”，在验证时，左端的项为 A. B. C. D.‎ ‎3.下列求导运算正确的是 ‎ A. B． ‎ C．= D．=‎ ‎4.函数与是定义在上的可导函数，若、满足，则 A. B. 为常数函数 ‎ C. D. 为常数函数 ‎5.设，则此函数在区间和内分别为 A.单调递增，单调递减 B.单调递增，单调递增 C.单调递减，单调递增 D.单调递减，单调递减 ‎6. 若是 A．纯虚数 B．实数 C．虚数 D．以上都有可能 ‎7. 已知函数，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.设为正实数，为虚数单位，，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎9.对于上可导的任意函数，若满足，则必有 ‎ A． B. ‎ C. D. ‎ ‎10.已知函数在时取得极大值，则 A. B. C. D. ‎ ‎11.观察下列事实：的不同整数解的个数为 ，的不同整数解 的个数为，的不同整数解的个数为，，则的不同整数 解的个数为 A. B. C. D.‎ ‎12.设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则 下列结论中一定成立的是 A.函数有极大值和极小值 ‎ B.函数有极大值和极小值 ‎ C.函数有极大值和极小值 ‎ D.函数有极大值和极小值 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.用反证法证明“如果，那么”，则假设的内容应是____________.‎ ‎14.已知函数，则____________.‎ ‎15.复数 .‎ ‎16. 已知等差数列中，有成立.类似地，在等比 数列中，有　　　　　　　　　　　　　成立. ‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共74分。请把解答题答在答题纸限定的区域内，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）请按要求完成下列两题.‎ ‎（Ⅰ）求由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎（Ⅱ）求由直线，曲线及轴所围成的封闭图形的面积.‎ ‎18．（本题满分12分）请按要求完成下列两题 ‎（Ⅰ）已知、、都为正实数，、分别为与、与的等差中项，且，‎ 求证：、、成等比数列.‎ ‎（Ⅱ）数列中，，表示前项和，且，，成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）计算的值；‎ ‎ （Ⅱ）根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想. ‎ ‎19．（本题满分12分）某电视生产企业有两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业 投放两种型号电视机的价值分别为万元，则农民购买电视机获得的补贴分别 为万元(且为常数).已知该企业投放总价值为万元的两种型号 的电视机，且两种型号的投放金额都不低于万元.‎ ‎（Ⅰ）以投放B型号电视机金额为自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，‎ 并求其定义域；‎ ‎（Ⅱ）求当投放型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？‎ ‎20．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数不存在极值点，求，的关系式；‎ ‎（Ⅱ）已知函数在与时有极值.‎ ‎⑴若函数在上不是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎⑵当时，求函数的最值.‎ ‎21.(本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当时，若，证明：．‎ ‎22．（本小题满分10分）已知，复数.‎ ‎（Ⅰ）若复数为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若在复平面内复数表示的点在第四象限，求实数的范围.‎ 高二数学 2017.3.23‎ 一、选择题：DBBBC BABCD AD 二、填空题：13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.解（Ⅰ）…………3分 ‎…………5分 ‎（Ⅱ）由得，，即，得，（舍）‎ 所以两曲线的交点坐标为，直线与轴的交点为…………7分 所以，…10分 ‎…………12分 ‎18.解（Ⅰ）由已知得，……1分 因为，所以，化简得，‎ 则，所以、、成等比数列. ……………4分 ‎（Ⅱ）（1）， 由已知有，‎ 得,又， 得 …………………………6分 ‎（2）由以上结果猜测： …………………………………7分 用数学归纳法证明如下：‎ ‎（Ⅰ）当时 ， ，猜想成立………………………8分 ‎（Ⅱ）假设当时猜想成立，则有 当时，因为 ‎ 所以 所以 ‎ 所以时猜想成立 所以对任意正整数，猜想都成立…………………12分 ‎19．（本题13分）解：（Ⅰ）设投放型电视机的金额为万元，则投放 型电视机的金额为万元，所以…………………2分 总补贴……………4分 ‎（Ⅱ）‎ 令，得……………7分 若即，则在为减函数，当时，有最大值；‎ 若即，则在是增函数，在是减函数，‎ 当时，有最大值；‎ 若即，则在是增函数，当时，有最大值.‎ 因此，当时，投放型电视机万元，农民得到的总补贴最大.‎ 当时，投放型电视机万元，农民得到的总补贴最大；‎ 当时，投放型电视机万元，农民得到的总补贴最大. …………12分 ‎20.解（Ⅰ）由已知……………2分 因为函数不存在极值点，所以无解 则，所以……………4分 ‎（Ⅱ）⑴，所以 且，解得……………6分 所以 ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 增 减 增 所以在和上增，在上减……………8分 若函数在上不是单调函数，则……………9分 ‎⑵由⑴知，则当时取极大、极小值 因为，所以 所以函数的最大、最小值分别为……………12分 ‎21.解（Ⅰ）当时，，则 所以，则………2分 所以，即………4分 ‎（Ⅱ）由已知，，即， ‎ 当时，，因为 所以在上增，在上减………5分 当时，由，得，‎ 所以在和上；在上 故在和单调递增，在单调递减………7分 当时，，得，.‎ 所以在和上；在上 故单调递增区间是和，减区间是……………9分 ‎（Ⅲ）令，则＝．………11分 所以 当时，，当时，．‎ 所以 当时，，即 ‎ 所以 ．……………12分 ‎22.解（Ⅰ）由已知，……………2分 因为复数为纯虚数，所以，且……………4分 解得或，解得或 所以或……………6分 ‎（Ⅱ）若复数表示的点在第四象限，则……………8分 解得，所以或……………10分