2016-2017学年高二人教A版数学选修2-1：第一章 简单逻辑用语 复习+练习

2016-2017学年高二人教A版数学选修2-1：第一章 简单逻辑用语 复习+练习

第一章 简单逻辑用语 一、命题 ‎1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．‎ 真命题：判断为真的语句． 假命题：判断为假的语句．‎ ‎2．“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论．‎ ‎3．四种命题 ‎（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题．‎ 若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”．‎ 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题． 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题．‎ 若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”．‎ 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题．‎ 若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”．‎ 即：原命题：“若，则” 逆命题：“若，则” ‎ ‎ 否命题：“若，则” 逆否命题：“若，则”．‎ 它们之间的关系如图：‎ ‎（2）四种命题的真假性之间的关系：‎ ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 ‎ ‎ 例1设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；‎ ‎③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；‎ ‎④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．‎ 其中真命题的个数是________．‎ 答案：0‎ 解析：∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0．‎ 例2给出命题：①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；②若－2≤x＜3，则(x＋2)(x－3)≤0；③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；④x，y∈N＋，若x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么(　　) ．‎ A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真 C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假 答案：A 解析：①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0，为真命题；②的否命题为：若 x＜－2或x≥3，则(x＋2)(x－3)＞0，但当x＝3时，(x＋2)(x－3)＝0，所以否命题为假；③原命题为真，则其逆否命题为真；④的逆命题为：x，y∈N＋，若x，y中一个是奇数，一个是偶数，则x＋y是奇数，显然为真．‎ 二、充要条件 ‎1．若，则是的充分条件，是的必要条件．‎ 若，则是的充要条件（充分必要条件）．‎ 利用集合间的包含关系，例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件．‎ ‎2．逻辑联结词 ‎（1）且(and) ：命题形式；（2）或（or）：命题形式；‎ ‎（3）非（not）：命题形式．‎ 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎3．（1）全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；‎ 全称命题p：； 全称命题p的否定p：．‎ ‎（2）存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；‎ 特称命题p：； 特称命题p的否定p：．‎ 例1一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)．‎ A．m＞1，n＜－1 B．mn＜0‎ C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜0‎ 答案：B 解析：先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，‎ 所以⇔从而A，B，C，D中只有B满足题意．‎ 例2设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　)．‎ A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充分条件也是必要条件 D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 解析：∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，‎ ‎∴丙⇒乙，但乙不能推出丙．综上有丙⇒乙⇒甲，但乙不能推出丙，故有丙⇒甲，但甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．‎ 例3下列命题中是假命题的是(　　)．‎ A．∃m∈R，使是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B．∀a＞0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点 C．∃α、β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβ D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数 答案：D 解析：∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，，∴f(x)在(0，＋∞)上递减，故A真；∵y＝ln2x＋lnx的值域为[－，＋∞)，∴对∀a＞0，方程ln2x＋lnx－a＝0有解，即f(x)有零点，故B真；当α＝，β＝2π时，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C真；当φ＝时，‎ f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数，故D为假命题．‎ 本章总结：‎