数学（理）卷·2019届内蒙古赤峰二中高二4月月考（2018-04）

数学（理）卷·2019届内蒙古赤峰二中高二4月月考（2018-04）

赤峰二中 2016 级高二下学期 4 月月考 理科数学试题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的． 1．已知复数 z＝ 10 3＋i －2i (其中 i 为虚数单位)，则|z|＝ A．3 3 B．3 2 C．2 3 D．2 2 2．设集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则 A∩B 的子集的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 3.为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机 抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直 线方程为 ˆˆ ˆy bx a  ．已知 10 1 225i i x   ， 10 1 1600i i y   ， ˆ 4b  ．该班某学生的脚长为 24， 据此估计其身高为 A 160 B 163 C 166 D 170 [ 4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石， 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石 5. 某 校 从 高 一 年 级 学 生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 , 将 他 们 的 模 块 测 试 成 绩 分 成 6 组 ： [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图．已 知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( )． A ． 588 B ． 480 C ． 450 D．120 6．已知 1 是 lga 与 lgb 的等比中项，若 a＞1，b＞1，则 ab 有（ ） A．最小值 10 B．最大值 100 C．最大值 10 D．最小值 100 7.设函数 f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ） 的最小正周期为π，且 f（﹣x）=f（x），则 A . f（x）在 单调递减 B. f（x）在（ ， ）单调递减 C. f（x）在（0， ）单调递增 D . f（x）在（ ， ）单调递增 8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执 行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 72，27，则输出的 a  A．18 B．9 C．6 D．3 9.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择 4 名参加志 愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有 1 人参加，则甲、乙都被选中且列队 服务时不相邻的概率为 A． 1 2 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 4 10 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（） A 1 B 8 C 4 D 2 11. 抛物线 xy 122  的焦点为 F，抛物线的弦 AB 经过焦点 F，以 AB 为直径的圆与直线 )0(  ttx 相切于 )6,( tM  ，则线段 AB 的长为（ ） A.12 B. 18 C. 16 D. 24 12. 已知函数 (为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.在 n xx       23 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_________. 14 如图，在边长为 e（ e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部 分的概率为______. 15．设双曲线   2 2 2 2 1 0 0x y a ,ba b     的左、右顶点分别为 A , B ，点 P 在双曲线上且异于 A , B 两点， O 为坐标原点．若直线 PA 与 PB 的斜率之积为 7 9 ，则双曲线的离心率为________． 16.锐角．． ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且满足     sin sin sina b A B c b C    ，若 3a  ，则 2 2b c 的取值范围是________ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 12 分）记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知， 24122  aa . 12111 S (1)求 na 的通项公式； (2)令 21 1   nn n aab ， nn bbbT  ......21 ，若 024  mTn 对一切  Nn 成立，求实 数 m 的最大值. 18. （本小题满分 12 分）如图,矩形 和梯形 所在平面互相垂直， ， , . （Ⅰ）求证： 平面 ; （Ⅱ）当 的长为何值时,二面角 的大小为 60°． 19. （本小题满分 12 分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字 是1，3张卡片上的数字是 2 ， 2 张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率 (2) X 表示所取 3张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望. 20.（本小题满分 12 分）椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的中心在原点，焦点在 x 轴上， 焦距为 2 ，且与椭圆 12 2 2  yx 有相同离心率． （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线 mkxyl : 与椭圆C 交于不同的 BA, 两点，且椭圆C 上存在点Q ，满足 OQOBOA  ，（O 为坐标原点），求实数  取值范围． 21.（本小题满分 12 分）已知函数 xaxxf ln)1()( 2  （1）若曲线 )(xfy  在  )1(,1 f 处的切线与直线 012  yx 垂直，求 a 的值；并判断此 时 )(xf 的单调性； （2）若 )(xf 有两个极值点 21, xx ，且 21 xx  ，当 1)( 21  mxxf 恒成立时，求 m 的取值 范围。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做 的第一个题目计分． 22．(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝2＋2cosα， y＝2sinα (α为参数)，曲线 C2 的参 数方程为 x＝2cosβ， y＝2＋2sinβ (β为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程； (2)已知射线 l1：θ＝α(0<α<π 2)，将射线 l1 顺时针旋转π 6 得到射线 l2：θ＝α－π 6 ，且射线 l1 与曲线 C1 交于 O，P 两点，射线 l2 与曲线 C2 交于 O，Q 两点，求|OP|·|OQ|的最大值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲 已知函数 2( ) | 2 |f x x a  . （Ⅰ）若 3| |(0) (1) af f a   ，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）对任意| | 1 ( ) 1x f x≤ ， ≤ 恒成立，求实数 a 的值. 赤峰二中 2016 级高二下学期第一次月考 理科数学答案 选择题 1---12 BACBB DABCD DA 12【答案】A 【解析】 ， 若函数 有两个极值点， 则 和 在 有 2 个交点， 令 , 则 ， 在 递减 , 而 ， 故 时 , , 即 , 递增， 时 , , 即 , 递减， 故 ， 而 时 , , 时 , ， 若 和 在 有 2 个交点 只需 ， 13【答案】 14【答案】 15. 16 答案. 17. （12 分）解：(1)∵等差数列 中， ， . ∴ ，解得 . ……………………………2 分 ，……………………………3 分 . ……………………………5 分 (2) ……………………………7 分 ，………9 分 是递增数列， ， ， ∴实数 的最大值为 .……………………………12 分 18（1）证明：在 中， ， ， ， ， 所以 .又因为在 中， ，所以 . 由已知条件知， 平面 ，所以 . 又 ，所以 平面 （2）如图，以点 C 为坐标原点，以 CB，CF 和 CD 分别作为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间 直角坐标系 C-xyz． 设 AB=a（a >0），则 C(0,0,0)，A( ,0,a)，B( ，0，0），E( ， 3，0），F（0，4，0）．从 而 设平面 AEF 的法向量为 ，由 得， 取 x=1，则 ，即 . 不妨设平面 EFCB 的法向量为 ， 由条件，得 ， 解得 ．所以当 时，二面角 A-EF-C 的大小为 60°． 18 解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 (2) 的所有可能值为 1，2，3，且 ， ， ，故 的分布列为： 1 2 3 从而 20.解：（1）由已知可 解得 ．……………3 分 所求椭圆 的方程 ． ………4 分 （2）建立方程组 消去 ，整理得 ． ． 由于直线直线 与椭圆 交于不同的 两点， ，有 ．① ………………6 分 设 ,于是 ， ． ………8 分 当 时，易知点 关于原点对称，则 ； 当 时，易知点 不关于原点对称，则 ． 此时， 由 ，得 即 点在椭圆上，∴ ． 化简得 ． ．② 由①②两式可得 ． 综上可得实数 的取值范围是 ． …12 分 21 解： ， 所以在 为增函数。 （2） 令 所以， 为减函数，所以 22．(1)曲线 C1 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4 1 分所以 C1 的 极坐标方程为ρ＝4cosθ 2 分 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4， 3 分 所以 C2 的极坐标方程为ρ＝4sinθ. 4 分 (2)设 P 的极坐标为(ρ1，α)， 5 分 即ρ1＝4cosα，点 Q 的极坐标为(ρ2，(α－ π 6))，即ρ2＝4sin(α－ π 6)， 6 分 则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin(α－ π 6)＝16cosα·( 3 2sinα－ 1 2cosα) ＝8sin(2α－ π 6)－4.∵α∈(0， π 2)， 8 分∴2α－ π 6∈(－ π 6， 5π 6 )．当 2α－ π 6＝ π 2，即α＝ π 3时， |OP|·|OQ|取最大值 4. 10 （23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解析：（Ⅰ）当 时， 可转化为 ，该不等式恒成立； 当 时， 可转化为 . 综上可得，实数 的取值范围是 …5 分 （Ⅱ）对任意 恒成立，可得 ，即 ，① 又 ，即 ，② 由①②可知 .验证 时 恒成 立. …10 分