初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第3讲 充满活力的韦达定理

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第3讲 充满活力的韦达定理

1 第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在: 运用韦达定理,求方程中参数的值; 运用韦达定理,求代数式的值; 利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征; 利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这 类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例 1】 已知 、  是方程 012  xx 的两个实数根,则代数式 )2( 22   的值为 。 思路点拨:所求代数式为 、 的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例 2】如果 a 、 b 都是质数,且 0132  maa , 0132  mbb ,那么 b a a b  的值为( ) A、 22 123 B、 22 125 或 2 C、 22 125 D、 或 2 思路点拨:可将两个等式相减,得到 、 的关系,由于两个等式结构相同,可视 、 为方程 0132  mxx 的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于 1x 、 2x 的对称式,这类问题可通过变形用 + 、 表 示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧: (1)恰当组合;(2)根据根的定义降次;(3)构造对称式。 【例 3】 已知关于 x 的方程: 04)2( 2 2  mxmx (1)求证:无论 m 取什么实数值,这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根 、 满足 212  xx ,求 m 的值及相应的 、 。 思路点拨:对于(2),先判定 、 的符号特征,并从分类讨论入手。 【例 4】 设 、 是方程 023242 22  mmmxx 的两个实数根,当 m 为何值时, 2 2 2 1 xx  有最小 值?并求出这个最小值。 思路点拨:利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束 条件下(△≥0)进行的。 注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别 式△≥0 这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性。 【例 5】 已知:四边形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB、CD 的长是关于 x 的方程 04 7)2 1(2 22  mmxx 的两个根。 (1)当 m=2 和 m>2 时,四边形 ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由。 2 (2)若 M、N 分别是 AD、BC 的中点,线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P,Q,PQ=1,且 ABBC)的长是关于 x 的方程的两个根。 (1)求 rn 的值; (2)若 E 是 AB 上的一点,CF⊥DE 于 F,求 BE 为何值时,△CEF 的面积是△CED 的面积的 3 1 ,请说 明理由. 16、设 m 是不小于 1 的实数,使得关于 的方程工 033)2(2 22  mmxmx 有两个不相等的实数根 、 。 (1) 若 62 2 2 1  xx ,求 m 的值。 (2)求 2 2 2 1 2 1 11 x mx x mx  的最大值。 17、如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90°,过 C 作 CD⊥AB 于 D,且 AD=m,BD=n,AC2:BC2=2: 1;又关于 x 的方程 012)1(24 1 22  mxnx 两实数根的差的平方小于 192,求整数 m、n 的值。 18、设 a 、 、c 为三个不同的实数,使得方程和 012  axx 和 02  cbxx 有一个相同的实数根,并 且使方程 02  axx 和 02  bcxx 也有一个相同的实数根,试求 cba  的值。 5 参考答案 6
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