2018-2019学年江苏省海安高级中学高二3月月考数学试题 解析版

2018-2019学年江苏省海安高级中学高二3月月考数学试题 解析版

绝密★启用前 江苏省海安高级中学2018-2019学年高二3月月考数学试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限．‎ ‎【答案】二 ‎【解析】‎ 试题分析：在复平面内所对应点的在第二象限．‎ 考点：向量几何意义 ‎2．若复数，，且是实数（其中为的共轭复数），则实数____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数为实数的充要条件即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎•（3+4i）（a﹣i）＝3a+4+（4a﹣3）i是实数，可得4a﹣3＝0，解得a．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数为实数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．某工厂生产的三种不同型号的产品数量之比依次为，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有16件，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合分层抽样的概念计算n的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意结合分层抽样的定义有：，‎ 求解关于的方程可得：‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】‎ 进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：‎ ‎(1) ；‎ ‎(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．‎ ‎4．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设这10个数为，，，，，则，，这组数据的方差为：，由此能求出这组数据的标准差．‎ ‎【详解】‎ 现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为，，，，， 则， ， 这组数据的方差为：， 这组数据的标准差． ‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎5．一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知三角形的面积为，阴影部分的面积为，故某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ‎ 考点：几何概型 ‎6．有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.‎ ‎7．如图，该程序输出的结果是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合算法语句，执行运算即可求解 ‎【详解】‎ 由题：S=1‎ I=1,S=1+1=2‎ I=3,S=2+3=5‎ I=5,S=5+5=10‎ 故答案为10‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法语句，准确理解题意是关键，是基础题 ‎8．如图是一个算法流程图，则输出的的值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的框图可知进入循环的条件为不满足条件模拟程序的运行结果，即可得到输出的k值 ‎【详解】‎ 模拟执行程序，可得k=1‎ 不满足条件执行循环体，k=2‎ 不满足条件执行循环体，k=3‎ 不满足条件执行循环体，k=4‎ 不满足条件执行循环体，k=5‎ 满足条件退出循环，输出k的值为5‎ 故答案为5‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图的应用，明确每次循环，准确判断何时结束循环是关键，是基础题 ‎9．已知，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ‎ 考点：三角函数求值 ‎10．在等差数列中，，则的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差中项的性质求得，进而根据＝2，求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎＝5＝120‎ ‎∴＝24，即+7d＝24‎ ‎∴＝2+14d＝2＝48‎ 故答案为48．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质．特别是利用了等差中项的性质和等差数列的通项公式，准确计算是关键，是基础题 ‎11．平行四边形中，为平行四边形内一点，且 ‎，若，则的最大值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用数量积定义及其运算性质、基本不等式可得结果．‎ 详解：由题意得，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ 当且仅当且，即时等号成立．‎ 故的最大值为．‎ 点睛：本题考查平面向量基本定理及向量数量积的运算，解题的关键是由数量积得到间的关系，然后结合利用基本不等式求解可得所求的最大值．‎ ‎12．设对任意恒成立，其中、是整数，则的取值的集合为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法设f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，‎ ‎∴当x＝0时，不等式等价为﹣3b≤0，即b≥0，‎ 当x→+∞时，x2﹣b＞0，此时ax+3≤0，则 a<0‎ 设f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，‎ 若b＝0，则g（x）＝x2＞0，‎ 函数f（x）＝ax+3的零点为x，则函数f（x）在（0，）上f（x）＞0，此时不满足条件．‎ 故b＞0，a<0‎ ‎∵函数f（x）在（0，）上f（x）＞0，则（，+∞））上f（x）＜0，‎ 而g（x）在（0，+∞）上的零点为x，且g（x）在（0，，）上g（x）＜0，则（，+∞））上g（x）＞0，‎ ‎∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，‎ 则函数f（x）与g（x）的零点相同，即，‎ ‎∵a，b，是整数，‎ ‎∴﹣a是3的约数，即﹣a＝1，或﹣a＝3，‎ 即a＝﹣1，或a＝﹣3，‎ 当a＝﹣1时，3，即b＝9，‎ 当a＝﹣3时，1，即b＝1，‎ 即a+b＝﹣1+9＝8或a+b＝﹣3+1＝﹣2，‎ 即a+b的取值的集合为{8，﹣2}，‎ 故答案为：{8，﹣2}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立等知识，考查考生分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，属于较难题，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同是解决本题的关键．‎ ‎13．若点在曲线：上，点在曲线：上，点为坐标原点，则的最大值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设点，抛物线焦点为,所以由于抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，‎ 所以，设所以，所以原式的最大值为.‎ 考点：本小题主要考查圆与圆锥曲线的综合应用.‎ 点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的简单性质、配方法等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎14．已知定义在上的函数存在零点，且对任意都满足，若关于的方程（）恰有三个不同的根，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令函数y＝f（x）的零点为m，即f（m）＝0，则由对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．可得f[f（x）]＝x，进而x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 令函数y＝f（x）的零点为m，即f（m）＝0，‎ ‎∵对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．‎ 则f[f（n）]＝n恒成立，‎ 即f[f（x）]＝x，‎ 若关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，‎ 即|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，‎ 当0＜a＜1时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：‎ 由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；‎ 当1＜a＜3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：‎ 由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有一个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有一个不同的根，不满足条件；‎ 当a＝3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：‎ 由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；‎ 当a＞3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：‎ 由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有三个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，满足条件；‎ 综上所述，实数a的取值范围是（3，+∞），‎ 故答案为：（3，+∞）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数零点的判定，其中根据已知确定出f[f（x）]＝x，是解答的关键，是中档题 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．已知.‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）已知锐角的内角的对边分别为,且,,求边上的高的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数公式化简f（x），即可求解f（x）的单调递增区间（2）根据f（A），a＝3，求解A，利用余弦定理建立关系，结合不等式的性质求解bc的最大值，根据三角形等面积即可求解BC边上的高的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 由题，‎ 令,‎ 得≤x≤,‎ 即函数的增区间为 ‎(2),‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 由余弦定理知9=得 当且仅当b=c,“=”成立，故，，此时 所以BC边的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质以及余弦定理，基本不等式的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,是中档题 ‎16．如图，在四棱锥中，，且，，，点在棱上，且．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；（2）连结BD交AC于O，连结EO．利用三角形相似得出，从而得到OE∥PB，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 证明：‎ ‎（1） ∥‎ 又，，‎ 平面，平面 平面， ‎ 又CD⊂平面PCD，‎ ‎∴平面PCD⊥平面PBC．‎ ‎（2）连接交于,连 ‎∥ ∽‎ 又 ‎∥‎ 平面,平面 ‎ 平面 ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，三角形相似，平行线性质，考查空间想象能力，熟记判定定理是关键，属于中档题．‎ ‎17．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）（Ⅲ）14.68‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30，由此能估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.10．从而课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人，利用列举法能求出至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图能估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，‎ 即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．‎ 因为500×0.30=150，‎ 所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.‎ ‎（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．‎ 因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．‎ 这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，‎ 从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．‎ 其中至少抽到1名女生的结果有7个，‎ 所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p=‎ ‎（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）．‎ 由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎18．如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.若猫眼曲线过点，且的公比为. ‎ ‎（1）求猫眼曲线的方程；‎ ‎（2）任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；‎ ‎（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆 上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，由题意得，再由成等比数列，且公比为得（2）弦中点问题，一般利用点差法得中点坐标与弦斜率关系：，，两式相除得值为（3）由椭圆几何意义得，过点且斜率为的直线与椭圆也相切，而直线与椭圆相切问题，一般利用判别式为零列等量关系，根据弦长公式可得底边长，根据平行直线间距离公式可得高 试题解析：解. （1），，‎ ‎，‎ ‎（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点 由，得 存在且，，且 ‎ ，即 同理，‎ 得证 ‎（3）设直线的方程为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两平行线间距离：‎ ‎，‎ 的面积最大值为 考点：椭圆标准方程，点差法，直线与椭圆位置关系 ‎【思路点睛】定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.‎ ‎19．已知数列中 .‎ ‎（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.‎ ‎【答案】（1）（2）1和2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设bn=a2n﹣λ，依题意，可得若数列{a2n﹣λ}是等比数列，则必须（常数）；（2）由（1）得{bn}是以﹣为首项，为公比的等比数列，于是a2n﹣1+a2n=，利用分组求和的方法，分别用等比数列的求和公式与等差数列的求和公式即可求得S2n，分n=1与2讨论，计算即可得到答案．‎ 详解：‎ ‎（1）设，因为 若数列是等比数列，则必须有（常数），‎ 即，即 ，‎ 此时 所以存在实数，使数列是等比数列.‎ ‎（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列 故 ，即 由，得，‎ 所以，‎ 显然当时，单调递减，‎ 又当时，，当时，，所以当时，；‎ ‎，‎ 同理，当且仅当时，‎ 综上，满足的所有正整数为1和2.‎ 点睛：本题考查数列递推关系式的应用，综合考查等比数列的性质、分组求和，考查分类讨论思想及抽象思维、逻辑思维、综合运算能力，属于难题．数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.‎ ‎20．已知函数。‎ ‎（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。‎ ‎（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；‎ ‎（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x时，‎ 恒有f（x）＞g（x）成立。‎ ‎【答案】（1）（2）当时,；当时, ；当时, ．（3）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意得，，即（2）构造函数则.当时，，，‎ 当时，设，则，当时,取得极小值, 且极小值为，故在上单调递增,，（3）构造函数，则，故在上有最小值，，①若，存在，使当时,恒有；若，存在，使当时,恒有；③若，存在，使当时,恒有；‎ 试题解析：（1）解:，，，，，2分 依题意： ，所以 ； 4分 ‎（2）解:，时，， 5分 ‎①时，，，即 ‎②时，，，即 ‎③时，令,则.‎ 设，则，‎ 当时,单调递减;当时,单调递增.‎ 所以当时,取得极小值, 且极小值为 即恒成立，故在上单调递增,又,‎ 因此,当时,,即. 9分 综上，当时,；当时,；当时,． 10分 ‎（3）‎ 证法一：①若，由（2）知，当时,.即，‎ 所以，时，取，即有当，恒有.‎ ‎②若,即，等价于即 令,则.当时,在内单调递增.‎ 取,则，所以在内单调递增.‎ 又 ‎ 即存在,当时，恒有. 15分 综上，对任意给定的正数，总存在正数，使得当，恒有. 16分 证法二：设，则，‎ 当时，，单调减，当时，，单调增，‎ 故在上有最小值，， 12分 ‎①若，则在上恒成立，‎ 即当时，存在，使当时,恒有；‎ ‎②若，存在，使当时,恒有；‎ ‎③若，同证明一的②， 15分 综上可得，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有. 16分 考点：导数几何意义，利用导数研究不等式 ‎21．已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特征值与特征向量的定义，建立方程，求出矩阵A；求出|A|，即可写出矩阵A的逆矩阵．‎ ‎【详解】‎ 由题意： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线为.曲线上的任意一点的直角坐标为,求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用互化公式可得C的直角坐标方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．令x＝2cosα，y＝1sinα．化简即可得出．‎ ‎【详解】‎ 曲线为，即ρ2＝4ρcosθ+2ρsinθ 曲线的直角坐标方程为 即 所以曲线是以为圆心，为半径的圆 故设 则 ∈．‎ ‎ 的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的极坐标方程、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎23．（1）有物理、化学、生物三个学科竞赛各设冠军一名，现有人参赛可报任意学科并且所报学科数不限，则最终决出冠军的结果共有多少种可能？‎ ‎（2）有共个数，从中取个数排成一个五位数，要求奇数位上只能是奇数，则共可排成多少个五位数？‎ ‎（3）有共个数，从中取个数排成一个五位数，要求奇数只在奇数位上，则共可排成多少个五位数？‎ ‎【答案】（1）125; （2）1800; （3）2520‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分析每个学科的冠军情况即可求解（2）先排奇数位，再排偶数位即可；（3）按用1个，2个，3个奇数分情况即可求解 ‎【详解】‎ ‎（1）每个学科的冠军有5种可能，故最终决出冠军的结果共有5×5×5=125种 ‎（2）由题，有5个奇数数字，4个偶数数字 先排奇数位有种，再排偶数位有种，由分步计数原理共可排60×30=1800个 ‎（3）若用1个奇数数字，有 若用2个奇数数字，有=1440‎ 若用3个奇数数字，有=720‎ 综上，共可排成360+1440+720=2520个五位数 ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合，分类和分步计数原理，准确分类和计算是关键，是基础题 ‎24．设是定义在上的增函数，，且满足：①任意，；②任意，有．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的表达式．‎ ‎【答案】（1）f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4；（2）f (n)＝n+1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用已知的表达式，通过 ，直接求，利用函数的单调性以及，即可求出的值；（2）利用函数的单调性及数学归纳法，推出 ，又，然后求出的表达式 .‎ 试题解析：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2． ‎ 因为f(n)是单调增函数 所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．‎ 因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4． ‎ ‎（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．‎ 证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，‎ 所以f (n+1)≥f (n)+1．‎ 首先证明：f (n)≥n+1．‎ 因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．‎ 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．‎ 则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．‎ 综上，f (n)≥n+1． ‎ 由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，‎ 所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．‎ 下面证明：f (n)＝n+1．‎ 因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．‎ 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，‎ 则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，‎ 又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．‎ 即n＝k+1时，命题也成立．‎ 所以f (n)＝n+1‎