江苏省苏南四校2013届高三第二次(12月)考试数学试题

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江苏省苏南四校2013届高三第二次(12月)考试数学试题

苏南四校2013届高三年级12月考试 数学试卷 四校:辅仁高中 宜兴一中 镇江中学 江阴高中 一、填空题 ‎1. ‎ ‎2、不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,-2)∪(-1,+∞),则a∶b∶c=__________.‎ ‎3、设复数为纯虚数,则= .‎ ‎4、函数的定义域为 ‎ ‎5、已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件.(填充分必要条件,充分不必要条件,必要不充分条件,既不充分又不必要条件之一)‎ ‎6、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示,则时速在的汽车大约有 辆.‎ ‎7、已知某算法的流程图如下图所示,则输出的结果是 .‎ ‎0.04‎ ‎0.02‎ ‎0.01‎ ‎0‎ ‎40 50 60 70 80 时速 频率 组距 开始 输出 结束 否 是 第5图 第6图 ‎8.设是等比数列的前项的和,若,则的值是 .‎ ‎9、函数的图象向左平移个单位后,与的图象重合,则实数的最小值为 .‎ ‎10. 一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是 .‎ ‎11.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系o-xyz中,经过点A(1,2,3)且法向量为n=(-1,-2,1)的平面的方程为____________ .‎ ‎(化简后用关于x,y,z的一般式方程表示) ‎ ‎12.数列的通项,其前项和为,则为 .‎ ‎13.设正实数满足,则的最小值为 .‎ ‎14.对任意x∈R,函数f(x)的导数存在,则的大小关系为:‎ 二、解答题 ‎15、已知向量 ‎(1)当时,求的值;‎ ‎(2)设函数,求的单调增区间;‎ ‎(3)已知在锐角中,分别为角的对边,,对于(2)中的函数,求的取值范围。‎ ‎16、已知函数在点处的切线方程为 ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值都有求实数c的最小值.‎ ‎17、建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)要最小.‎ A D B C ‎60‎ h ‎(1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高h为多少米?‎ ‎(2)如防洪堤的高限制在的范围内,外周长最小为多少米?‎ ‎ ‎ ‎18、设二次函数满足下列条件:‎ ‎ ①当时, 的最小值为0,且恒成立;‎ ‎ ②当时,恒成立.‎ ‎ (I)求的值;‎ ‎ (Ⅱ)求的解析式;‎ ‎ (Ⅲ)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当时,就有成立 ‎19. 已知⊙和点.‎ ‎(Ⅰ)过点向⊙引切线,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)求以点为圆心,且被直线截得的弦长为 ‎4的⊙的方程;‎ M x y o ‎·‎ 第19题 ‎(Ⅲ)设为(Ⅱ)中⊙上任一点,过点向⊙引切 线,切点为. 试探究:平面内是否存在一定点,‎ 使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应 的定值;若不存在,请说明理由.‎ ‎20、设数列满足:是整数,且是关于x的方程 的根.‎ ‎(1)若且n≥2时,求数列{an}的前100项和S100;‎ ‎(2)若且求数列的通项公式.‎ 参考答案 ‎1、{-1} 2、 1:3:2 3、1 4、 5、必要不充分条件 6、 60 7、 5 8、 9、 10 、 . 11、 x+2y-z-2=0 12、‎ ‎13、 14、 <‎ ‎15、解:(1)由,可得3sinx=-cosx,于是tanx=. …………………2分 ‎∴ . …………………………4分 ‎(2)∵ =‎ ‎=(sinx+cosx,2)·(sinx,-1)‎ ‎=sin2x+sinxcosx-2‎ ‎=‎ ‎=, …………………………6分 ‎ …………………………8分 ‎(无扣1分)‎ ‎(3)∵在△ABC中,A+B=-C,于是,‎ 由正弦定理知:,‎ ‎∴,可解得. ………………………………………………10分 又△ABC为锐角三角形,于是,‎ ‎∴ .‎ ‎ 由得,‎ ‎∴ 00),∵f(1)=2,∴a=‎ ‎∴f(x)= (x+1)2 ………………………8分 ‎ (3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤2x.‎ f(x+t)≤2x(x+t+1)2≤2xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.‎ 令g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].‎ ‎∴m≤1-t+2≤1-(-4)+2=9‎ t=-4时,对任意的x∈[1,9]‎ 恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9. …………………… 16分 ‎(画图用数形结合视解答情况给分)‎ ‎19、解:(Ⅰ)设切线方程为 ,易得,解得……4分 ‎ ∴切线方程为 ……………………………………6分 ‎(Ⅱ)圆心到直线的距离为,设圆的半径为,则,‎ ‎∴⊙的方程为………………………………… 10分 ‎(Ⅲ)假设存在这样的点,点的坐标为,相应的定值为,‎ 根据题意可得,∴,‎ 即 (*),‎ 又点在圆上∴,即,代入(*)式得:‎ ‎ ‎ 若系数对应相等,则等式恒成立,∴,‎ 解得………………………………14分 ‎∴可以找到这样的定点,使得为定值. 如点的坐标为时,比值为;‎ 点的坐标为时,比值为………………………16分 ‎20(1)由an+1-an是关于x的方程x2+( an+1-2)x-2an+1=0的根,‎ 可得:,‎ 所以对一切的正整数,或, …………………………4分 若a1=4,且n≥2时,4≤an≤8,则数列{an}为:‎ 所以,数列{an}的前100项和;…………………………8分 ‎(2)若a1=-8,根据an(n∈N*)是整数,an<an+1(n∈N*),且或 可知,数列的前6项是:或或或或 因为a6=1,所以数列的前6项只能是且时, …………………………12分 所以,数列{an}的通项公式是:…………………………16分 ‎ ‎
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