2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义:第十二章12-4离散型随机变量及其分布列

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2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义:第十二章12-4离散型随机变量及其分布列

‎1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.‎ ‎2.离散型随机变量的分布列及性质 ‎(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质 ‎①pi≥0,i=1,2,…,n;‎ ‎②i=1.‎ ‎3.常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布 若随机变量X服从两点分布,即其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1-p p 其中p=P(X=1)称为成功概率.‎ ‎(2)超几何分布 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有下表形式,‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 则称随机变量X服从超几何分布.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( √ )‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ )‎ ‎(3)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布.( × )‎ ‎(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员,其中女演员的人数X服从超几何分布.( √ )‎ ‎(5)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )‎ ‎(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( √ )‎ ‎1.(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的事件是(  )‎ A.一颗是3点,一颗是1点 B.两颗都是2点 C.甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点 D.以上答案都不对 答案 C 解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知,C正确.‎ ‎2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于(  )‎ A.0 B. C. D. 答案 C 解析 设X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P p ‎2p 即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,由p+2p=1,得p=,故选C.‎ ‎3.从标有1~10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量X可能取得的值有(  )‎ A.17个 B.18个 C.19个 D.20个 答案 A 解析 X可能取得的值有3,4,5,…,19,共17个.‎ ‎4.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X个红球,则随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 答案 0.1 0.6 0.3‎ 解析 ∵X的所有可能取值为0,1,2,‎ ‎∴P(X=0)==0.1,‎ P(X=1)===0.6,P(X=2)==0.3.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎5.(教材改编)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为______.‎ 答案  解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球,‎ 故P(X=4)==.‎ 题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例1 (1)设X是一个离散型随机变量,其分布列为 X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎2-3q q2‎ 则q等于(  )‎ A.1 B.± C.- D.+ 答案 C 解析 ∵+2-3q+q2=1,∴q2-3q+=0,解得q=±.又由题意知08且n∈N*),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.‎ ‎(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于,求n的最大值;‎ ‎(2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ,求ξ的分布列.‎ 解 (1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A,‎ 则事件A发生的概率P(A)==.‎ 依题意≥,化简得n2-25n+144≤0,‎ ‎∴9≤n≤16,故n的最大值为16.‎ ‎(2)由题意,ξ的可能取值为0,1,2,且ξ服从超几何分布,‎ 则P(ξ =k)=(k=0,1,2),‎ ‎∴P(ξ=0)=P(ξ=2)==,‎ P(ξ=1)==.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎
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