2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章+第5节　椭　圆

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章+第5节　椭　圆

第五节　椭　圆 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．‎ ‎(对应学生用书第138页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．椭圆的定义 把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．‎ 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：‎ ‎(1)若a＞c，则集合P为椭圆；‎ ‎(2)若a＝c，则集合P为线段；‎ ‎(3)若a＜c，则集合P为空集．‎ ‎2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0)‎ ＋＝1(a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 离心率 e＝，且e∈(0,1)‎ a，b，c的关系 c2＝a2－b2‎ ‎[知识拓展]　1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系：(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1.(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)P(x0，y2)在椭圆外⇔＋＞1.‎ ‎2．对于＋＝1(a＞b＞0)如图851.‎ 图851‎ 则：(1)S＝b2tan .‎ ‎(2)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.‎ ‎(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.‎ ‎(4)过P(x0，y0)点的切线方程为 ＋＝1.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)‎ ‎(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)‎ ‎(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)‎ ‎(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)‎ ‎(5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)‎ ‎(6)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√‎ ‎2．(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是(　　)‎ A． B． C． D． B　[∵椭圆方程为＋＝1，‎ ‎∴a＝3，c＝＝＝.‎ ‎∴e＝＝.‎ 故选B．]‎ ‎3．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ A．＋＝1　　　 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ D　[椭圆的焦点在x轴上，c＝1.‎ 又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，‎ 故椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎4．椭圆C：＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为(　　)‎ A．12 B．16‎ C．20 D．24‎ C　[△F1AB的周长为 ‎|F1A|＋|F1B|＋|AB|‎ ‎＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|‎ ‎＝2a＋2a＝4a.‎ 在椭圆＋＝1中，a2＝25，a＝5，‎ 所以△F1AB的周长为4a＝20，故选C．]‎ ‎5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．‎ ‎(3,4)∪(4,5)　[由已知得解得3＜k＜5且k≠4.]‎ ‎(对应学生用书第139页)‎ 椭圆的定义及其应用 ‎　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)‎ A．－＝1　 B．＋＝1‎ C．－＝1 D．＋＝1‎ ‎(2)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)‎ A．7 B． C． D． ‎(1)D　(2)C　[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意得a＝3，b＝，c＝，‎ ‎∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.‎ ‎∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，‎ ‎∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.‎ ‎∴|AF1|＝，∴S△AF1F2＝××2×＝.]‎ ‎[规律方法]‎ ‎　1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.‎ ‎2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.‎ ‎[跟踪训练]　(1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16，则|AF2|＝________. ‎ ‎【导学号：79140284】‎ ‎(2)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.‎ ‎(1)5　(2)3　[(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，‎ ‎∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4.‎ 则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，‎ ‎∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.‎ ‎(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，‎ 则 ‎∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，‎ ‎∴S＝r1r2＝b2＝9，‎ ‎∴b＝3.]‎ 椭圆的标准方程 ‎　(1)若直线x－2y ‎＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)‎ A．＋y2＝1 B．＋＝1‎ C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 ‎(2)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋y2＝1 D．＋y2＝1‎ ‎(1)C　(2)A　[(1)直线与坐标轴的交点分别为(0,1)，(－2,0)，‎ 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ 当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.]‎ ‎[规律方法]　求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)的形式.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·湖南长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋y2＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ ‎(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________. ‎ ‎【导学号：79140285】‎ ‎(1)C　(2)＋＝1　[(1)由条件可知b＝c＝，a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.故选C．‎ ‎(2)依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)．‎ 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，‎ ‎∴点A必在椭圆上，∴＋＝1. ①‎ 又由c＝1，得1＋b2＝a2. ②‎ 由①②联立，得b2＝3，a2＝4.‎ 故所求椭圆C的方程为＋＝1.]‎ 椭圆的几何性质 ‎◎角度1　求离心率的值或范围 ‎　(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.‎ 又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴e＝＝＝＝＝.‎ 故选A．]‎ ‎◎角度2　根据椭圆的性质求参数 ‎　已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)‎ A．8 B．7‎ C．6 D．5‎ A　[∵椭圆＋＝1的长轴在x轴上，‎ ‎∴解得6＜m＜10.‎ ‎∵焦距为4，‎ ‎∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.]‎ ‎[规律方法]　(1)求椭圆离心率的方法 ‎①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.‎ ‎②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.‎ (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)‎ A．－21 B．21‎ C．－或21 D．或－21‎ ‎(2)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． ‎(1)D　(2)C　[(1)当9＞4－k＞0，即－5＜k＜4时，‎ a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，‎ ‎∴＝，解得k＝.‎ 当9＜4－k，即k＜－5时，‎ a＝，c2＝－k－5，‎ ‎∴＝，解得k＝－21，‎ 所以k的值为或－21.‎ ‎(2)如图所示，‎ ‎∵线段PF1的中垂线经过F2，‎ ‎∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，‎ 即椭圆上存在一点P，‎ 使得|PF2|＝2c.‎ ‎∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.]‎ ‎ ‎ 直线与椭圆的位置关系 ‎　(2018·东北三省四市模拟(一))已知椭圆E的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋1(k≠0)与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为，求△BOC的面积．‎ ‎[解]　(1)由题意b＝1，c＝，‎ ‎∴a2＝b2＋c2＝3，‎ 又∵椭圆E的焦点在x轴上，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，将直线方程与椭圆联立整理得(3k2＋1)x2＋6kx＝0，‎ 由原点O到直线l的距离为＝，得k2＝，‎ 又|BC|＝ ‎ ＝＝2，‎ ‎∴S△BOC＝×|BC|×＝，‎ ‎∴△BOC的面积为.‎ ‎[规律方法]　直线与椭圆的位置关系的解题策略 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则|AB|＝ ‎＝(k为直线斜率).‎ 易错警示：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽视判别式.‎ ‎[跟踪训练]　已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p＝(x1，y1)，q＝(x2，y2)，且p·q＝0，若直线MN过点，求直线MN的斜率．‎ ‎[解]　(1)由题可知： 解得m＝4，n＝1.‎ ‎∴曲线C的方程为y2＋4x2＝1.‎ ‎(2)设直线MN的方程为y＝kx＋，‎ 代入椭圆方程y2＋4x2＝1，得(k2＋4)x2＋kx－＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∵p·q＝(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0，‎ ‎∴＋＋＋＝0，‎ 即k2－2＝0，k＝±.‎ 故直线MN的斜率为±.‎