新课标全国卷高考理科数学试题和答案解析

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新课标全国卷高考理科数学试题和答案解析

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项:‎ ‎ 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚 ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效 ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合,.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )‎ A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 ‎4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设,满足约束条件,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎10.已知直三棱柱中,,,‎ ‎,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若是函数的极值点,则的极小值为( )‎ A. B. C. D.1‎ ‎12.已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则 .‎ ‎14.函数()的最大值是 .‎ ‎15.等差数列的前项和为,,,则 .‎ ‎16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 的内角的对边分别为 ,已知.‎ ‎(1)求 ‎ ‎(2)若 , 面积为2,求 ‎ ‎18.(12分)‎ 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:‎ (1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;‎ (2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:‎ 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3) 根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)‎ P()‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)‎ 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中点.‎ ‎(1)证明:直线 平面PAB ‎(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ,求二面角M-AB-D的余弦值 ‎ ‎ ‎20. (12分)‎ 设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足.‎ (1) 求点P的轨迹方程;‎ (2) 设点Q在直线x=-3上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. ‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数且.‎ ‎(1)求a;‎ ‎(2)证明:存在唯一的极大值点,且.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ ‎ 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知,证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D ‎7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题 ‎13. 1.96 14. 1 15. 16. 6‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(1)由题设及,故 上式两边平方,整理得 ‎ 解得 ‎ ‎(2)由,故 又 由余弦定理及得 所以b=2‎ ‎18.解:‎ ‎(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于” ,表示事件“新养殖法的箱产量不低于” ‎ 由题意知 ‎ 旧养殖法的箱产量低于的频率为 故的估计值为0.62‎ 新养殖法的箱产量不低于的频率为 故的估计值为0.66‎ 因此,事件A的概率估计值为 ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 由于 故有的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于的直方图面积为 ‎,‎ 箱产量低于的直方图面积为 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ‎.‎ ‎19.解:‎ ‎(1)取中点,连结,.‎ 因为为的中点,所以,,由得,又 所以.四边形为平行四边形, .‎ 又,,故 ‎(2)‎ 由已知得,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 则,,,,‎ ‎,则 因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而是底面ABCD的法向量,所以 ‎,‎ 即(x-1)²+y²-z²=0‎ 又M在棱PC上,设 由①,②得 所以M,从而 设是平面ABM的法向量,则 所以可取m=(0,-,2).于是 因此二面角M-AB-D的余弦值为 ‎20.解 ‎(1)设P(x,y),M(x0,y0),设N(x0,0), ‎ 由得 因为M(x0,y0)在C上,所以 因此点P的轨迹方程为 ‎(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则 ‎,‎ 由得,又由(1)知,故 ‎3+3m-tn=0‎ 所以,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎21.解:‎ ‎(1)的定义域为 设,则等价于 因为 若a=1,则.当0<x<1时,单调递减;当x>1时,>0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故 综上,a=1‎ ‎(2)由(1)知 设 当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增 又,所以在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当时,;当时,,当时,‎ ‎.‎ 因为,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由 由得 因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由得 所以 ‎22.解:‎ ‎(1)设P的极坐标为,M的极坐标为,由题设知 由得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为 ‎(2)设点B的极坐标为,由题设知 ‎,于是△OAB面积 当时,S取得最大值 所以△OAB面积的最大值为 ‎23.解:‎ ‎(1)‎ ‎(2)因为 所以,因此a+b≤2.‎ ‎ ‎
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