数学文卷·2018届河南省洛阳市届高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届河南省洛阳市届高三上学期期中考试（2017

洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试 数学试卷（文）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，则集合的子集的个数是（ ）‎ A．16 B．8 C．7 D．4‎ ‎2. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设，是 “”是“为等比数列”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4. 已知函数，若，则取值的集合为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设是不同的直线，是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C. 若，，则 D．若，则 ‎6. 设等差数列满足，且，为其前项和，则数列的最大项为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 等比数列中，，函数，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（ ）‎ A．60 B．48 C. 24 D．20‎ ‎10.已知函数，则下列说法不正确的为（ ）‎ A．函数的最小正周期为 ‎ B．在单调递减 ‎ C. 的图象关于直线对称 ‎ D．将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象 ‎11.在平面直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，设，则的最大值为 （ ）‎ A．-1 B．1 C. 2 D．3‎ ‎12. 已知定义在上的函数，满足，且当时，若函数在上有唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.已知，若向量与共线，则 ．‎ ‎14.若函数在定义域上为奇函数，则实数 ．‎ ‎15.已知，数列满足，则 ．‎ ‎16.已知菱形边长为2，，将沿对角线翻折形成四面体，当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.设函数．‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）当时，求的最值．‎ ‎18.已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使的的最大值．‎ ‎19.在中，内角的对边分别为，已知，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎20. 已知函数．‎ ‎（1）若函数在和处取得极值，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎21. 如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，是边长为2的等边三角形，是的中点，是棱的中点，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎22. 已知函数为偶函数，当时，，且曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求的值；；‎ ‎（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BCADC 6-10: ADDCD 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 3 14. 15. 1009 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）‎ ‎．‎ 由，得 ‎，‎ ‎∴，‎ 所以的单调递减区间为．‎ ‎（2）∵， ∴，‎ 当取到最大值1，此时；‎ 当取得最小值，此时．‎ ‎18.（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意有，‎ 即，‎ 由，解得，所以．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以．‎ 解，得，‎ 所以的最大值为13．‎ ‎19.（1）由，得，‎ 即，‎ 由正弦定理，得，‎ 所以，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ ‎（2）在中，由余弦定理，得，‎ 又，‎ 所以，解得，‎ 所以的面积．‎ ‎20.（1）由题可得 ，，‎ ‎∵函数在和处取得极值，‎ ‎∴是方程的两根，‎ ‎∴， ∴；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 当变化时，随的变化如下表：‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 减 增 ‎∴当时，的最小值为，‎ 要使恒成立，只要即可，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎21.（1）‎ 证明：∵底面四边形是直角梯形，是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形， ∴，‎ ‎∵， ∴，‎ 又是的中点，故，‎ 又，‎ ‎∴，由勾股定理可知，‎ 又，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面； ‎ ‎（2）解：连接， ∵，是的中点， ∴，‎ ‎∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，又是棱的中点，‎ 故，‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎22.（1）时，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ 又曲线在点处的切线方程为，‎ 所以．‎ ‎（2）因为为偶函数，且当时，，‎ 那么，‎ 由得，‎ 两边取以为底的对数得，‎ 所以在上恒成立，‎ 设，‎ 则（因为）‎ 所以，‎ 设，易知在上单调递减，‎ 所以，‎ 故，‎ 若实数存在，必有，又，‎ 所以满足要求，故所求的最小正整数为2．‎