数学理卷·2018届辽宁省丹东市高三一模考试（2018

数学理卷·2018届辽宁省丹东市高三一模考试（2018

‎2018年丹东市高三总复习质量测试（一）‎ 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知，，，则 A．或 B．‎ C．或 D．‎ ‎2．若复数为纯虚数，则实数 A． 1 B． C．1或 D．或2‎ ‎3．从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学，若抽到了1名女同学，则另1名女同学也被抽到的概率为 A． B． C． D．‎ ‎4．我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为 A． B． C． D．‎ ‎5．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎6．如果甲去旅游，那么乙、丙和丁将一起去．据此，下列结论正确的是 A．如果甲没去旅游，那么乙、丙、丁三人中至少有一人没去．‎ B．如果乙、丙、丁都去旅游，那么甲也去．‎ C．如果丙没去旅游，那么甲和丁不会都去．‎ D．如果丁没去旅游，那么乙和丙不会都去．‎ ‎7．执行右面的程序框图，若输入a，b，则输出的 A．3‎ B．4‎ C．5‎ D．6‎ ‎8．将函数的图象向左平移个单位后，便得到函数的图象，则正数的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎9．设，则函数 A．有极值 B．有零点 C．是奇函数 D．是增函数 ‎10．设F为抛物线C：的焦点，直线交C于A，B两点，O为坐标原点，若△FAB的面积为，则 A． B． C．2 D．4‎ ‎11．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，若直线AB与a成角为60，则AB与b成角为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知，，是平面向量，其中，，且与的夹角为，若 ‎，则的最大值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ．‎ ‎14．的二项展开式的第三项系数为7，则 ．‎ ‎15．若直线是曲线的切线，则实数的值为 ．‎ ‎16．数列满足，则的前20项和为 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知为△的内角，当时，函数取得最大值．△内角，，的对边分别为，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求△的面积．‎ ‎18．（12分）‎ 为增进市民的环保意识，某市有关部门面向全体市民进行了一次环保知识的微信问卷测试活动，每位市民仅有一次参与问卷测试机会．通过抽样，得到参与问卷测试的1000人的得分数据，制成频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）估计成绩得分落在[86，100]中的概率．‎ ‎（2）设这1000人得分的样本平均值为．‎ ‎（i）求（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（ii）有关部门为参与此次活动的市民赠送20元或10元的随机话费，每次获赠20元或10元的随机话费的概率分别为和．得分不低于的可获赠2次随机话费，得分低于的可获赠1次随机话费．求一位市民参与这次活动获赠话费的平均估计值．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，斜三棱柱中，为锐角，底面是以为斜边的等腰直角三角形，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若直线与底面成角为，，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）‎ 已知动圆过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设，B，P为C上一点，P不在坐标轴上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值．‎ ‎21．（12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）若，讨论的单调性；‎ ‎（2）求正实数的值，使得为的一个极值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求的极坐标方程；‎ ‎（2）设，为上两点，若，求的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）‎ 已知，，．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C ‎ ‎7．A 8．C 9．D 10．B 11．A 12．C ‎ 二、填空题 ‎13．3 14．8 15．1 16．220‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（1）‎ ‎． …………3分 由题设，因为，故． …………6分 ‎（2）根据正弦定理得， ，．‎ 因为，所以． …………8分 由余弦定理得得．‎ 因此△的面积为． …………12分 ‎18．解：‎ ‎（1）成绩得分落在[86，100]中的概率为．‎ ‎ …………3分 ‎（2）（i）这500件产品质量指标值的样本平均数为 ‎． …………7分 ‎（ii）设得分不低于的概率为．‎ ‎ …………8分 随机变量可取10,20,30,40．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 的分布列为 话费的平均估计值为．‎ ‎ …………12分 ‎19．解：‎ ‎（1）因为，，，所以平面．‎ 因为平面，所以平面平面． …………4分 ‎（2）因为平面，在平面内作，垂足为，所以平面．因为底面成角为，所以．‎ ‎ …………6分 因为，，所以平面，所以，四边形是菱形．因为为锐角，所以，于是是中点．‎ ‎ …………8分 设，以为坐标原点，为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则，，，，‎ ‎，，．‎ D x A B C y z A1‎ B1‎ C1‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，即，‎ 可以取．‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，即，‎ 可以取．‎ 因为，二面角平面角是钝角，‎ 故二面角的余弦值是． …………12分 ‎20．解：‎ ‎（1）圆的圆心为，半径为4，在圆内，故圆与圆相内切．‎ 设圆的半径为，则，，从而．‎ 因为，故的轨迹是以，为焦点，4为长轴的椭圆，其方程为． …………6分 ‎（2）设，则，即．‎ 直线PA：，代入得，所以．‎ 直线PA：，代入得，所以．‎ 所以 ‎．‎ 综上，为定值4． …………12分 ‎21．解：（1）定义域为，．‎ 当时，，当时，，故在单调递增．‎ ‎ …………4分 ‎（2）．‎ 因为，所以当时，．‎ 设，，当时，，在单调递增．‎ 当时，，，故在有唯一实根，且，．①‎ 当时，，；当时，，；当时，，．所以当时，取极小值，当时，取极大值．‎ 令得不符合．‎ 令，由①得．‎ 设，．当 时，，故在单调递增．因为，所以，，符合．‎ 当时，由（1）知，没有极值．‎ 当时，，，故在有唯一实根，且．‎ 当时，，；当时，，；当时，，．所以当时，取极大值，当时，取极小值．‎ 因为，所以不是的一个极值．‎ 综上，存在正实数，使得为的一个极值． …………12分 ‎22．解：‎ ‎（1）由题设的参数方程为（为参数），消去得的普通方程为．将，代入得的极坐标方程为． …………5分 ‎（2）不妨设，的极坐标分别为，，则， ．‎ 从而，，所以，因此． …………10分 ‎23．证明：‎ ‎（1）因为 ‎ ．‎ 所以． …………5分 ‎（2）方法1：由（1）及得．‎ 因为，．‎ 于是． …………10分 方法2：‎ 由（1）及得．‎ 因为，所以．故． …………10分