数学理·贵州省贵阳市普通高中2017届高三上学期8月摸底数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·贵州省贵阳市普通高中2017届高三上学期8月摸底数学试卷（理科）+Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1．已知集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．R ‎2．已知i为虚数单位，若复数z满足z+z•i=2，则z的虚部为（　　）‎ A．i B．1 C．﹣i D．﹣1‎ ‎3．已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．5 D．1‎ ‎4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（　　）‎ A．33 B．72 C．84 D．189‎ ‎6．在边长为1的正三角形ABC中， =2，则•=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．函数y=sinx+cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣4 D．4‎ ‎9．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．α⊥β，m⊂α⇒m⊥β B．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n C．m∥n，n⊥α⇒m⊥α D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β ‎10．阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．±2 D．1或2‎ ‎11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（　　）‎ A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（b）＜f（c）＜f（a） C．f（b）＜f（a）＜f（c） D．f（c）＜f（a）＜f（b）‎ ‎12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（　　）‎ A．0 B． C．2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．（x2+）6的展开式中常数项是　　．（用数字作答）‎ ‎14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=　　．‎ ‎15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R=　　；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为　　．‎ ‎16．已知直线l：y=k（x+1）﹣与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA， •=3．‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的面积S；‎ ‎（Ⅱ）若c=1，求a的值．‎ ‎18．通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：‎ ‎　男 女 总计 爱好 ‎40‎ 不爱好 ‎25‎ 总计 ‎45‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）将题中的2×2列联表补充完整；‎ ‎（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 附：K2=，‎ p（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；‎ ‎（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中a∈R）‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有e＞成立．（注：e为自然对数的底数）‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE∥AB；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；‎ ‎（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；‎ ‎（Ⅱ）若对∀x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题 ‎25．等比数列{an}的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1．已知集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．R ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先根据对数函数求出函数的定义域得到集合A，再利用交集定义求解．‎ ‎【解答】解：由A={x|y=log2（x﹣1），x∈R}，可得A={x|x＞1}，‎ 又B={x|x＜2}，‎ ‎∴A∩B={x|1＜x＜2}，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知i为虚数单位，若复数z满足z+z•i=2，则z的虚部为（　　）‎ A．i B．1 C．﹣i D．﹣1‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z满足z+z•i=2，‎ 可得z==1﹣i．‎ 则z的虚部为﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．5 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．‎ ‎【解答】解：由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，‎ 平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，‎ 直线，的截距最大，此时z取得最大值，‎ 由得，即A（1，3），‎ 代入z=x+3y，得z=1+3×3=10，‎ 即目标函数z=x+3y的最大值为10．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．‎ ‎【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），‎ 则c=4，a=2，b2=12，‎ 双曲线方程为，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（　　）‎ A．33 B．72 C．84 D．189‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21‎ 故3+3q+3q2=21，‎ ‎∴q=2，‎ ‎∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．在边长为1的正三角形ABC中， =2，则•=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据向量数量积的定义求出向量长度和向量夹角进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵=2，‎ ‎∴•=（+）•=（+）•=2+•‎ ‎=1+×1×1cos120°=1﹣=，‎ 法2．∵=2，‎ ‎∴D是BC的中点，‎ 则在正三角形中，AD=，＜，＞=∠BAD=30°，‎ 则•=||•||cos30°=×1×=‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=sinx+cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】直接利用辅助角公式化简，再由（0≤x＜2π）求得答案．‎ ‎【解答】解：y=sinx+cosx=2（）=2sin（x+）．‎ 由，得．‎ ‎∵0≤x＜2π，∴当k=0时，x=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣4 D．4‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先求出f（x）=3x+lnx的导数，再求出函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率，根据两直线垂直可解出a的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=3x+lnx的导数为f′（x）=3+，‎ ‎∴f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=3+1=4，‎ ‎∵直线x+ay+1=0的斜率为﹣，‎ ‎∴由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣•4=﹣1，‎ ‎∴a=4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．α⊥β，m⊂α⇒m⊥β B．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n C．m∥n，n⊥α⇒m⊥α D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在A中，m与β平行、相交或m⊂β；在B中，m与n相交、平行或异面；由线面垂直的判定定理得C正确；在D中，α与β相交或平行．‎ ‎【解答】解：由m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，知：‎ 在A中，α⊥β，m⊂α⇒m与β平行、相交或m⊂β，故A错误；‎ 在B中，α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；‎ 在C中，m∥n，n⊥α⇒m⊥α，由线面垂直的判定定理得，C正确；‎ 在D中，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交或平行，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．±2 D．1或2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】首先判断程序框图，转化为分段函数形式，然后根据y=3分别代入三段函数进行计算，排除不满足题意的情况，最后综合写出结果．‎ ‎【解答】解：根据程序框图分析，‎ 程序框图执行的是分段函数运算：y=，‎ 如果输出y为3，‎ 则当：﹣x+4=3时，解得x=1，不满足题意；‎ 当x2﹣1=3时，解得：x=2，或﹣2（舍去），‎ 综上，x的值2‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（　　）‎ A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（b）＜f（c）＜f（a） C．f（b）＜f（a）＜f（c） D．f（c）＜f（a）＜f（b）‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】当x＞0时，f（x）=（）x+1，再由c＞a＞b，能求出f（a），f（b），f（c）的大小关系．‎ ‎【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，‎ ‎∴当x＞0时，f（x）=（）x+1，‎ ‎∵a=2=4，b=4，c=25=，‎ ‎∴c＞a＞b，‎ ‎∴f（c）＜f（a）＜f（b）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（　　）‎ A．0 B． C．2 D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，‎ ‎∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，‎ ‎∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），‎ 即x=2y（y＞0），‎ ‎∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）‎ ‎=4y﹣2y2‎ ‎=﹣2（y﹣1）2+2≤2．‎ ‎∴x+2y﹣z的最大值为2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．（x2+）6的展开式中常数项是　15　．（用数字作答）‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】本题可通过通项公式Tr+1=Cnran﹣rbr来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r（x2）6﹣r中r的值，然后即可求出常数项是15‎ ‎【解答】解：设通项公式为，整理得C6rx12﹣3r，‎ 因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，‎ 故常数项是c64=15‎ 故答案为15．‎ ‎　‎ ‎14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=　3　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．‎ ‎【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为a，侧面是边长为2的正三角形，其面积为S==，‎ 由题意可得：V=3=a，‎ 解得：a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R=　6π　；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为　　．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】由题意可知正四棱柱的体对角线计算球的直径，求出对角线的长可得球的直径，求出半径，即可求出球的表面积；如图所示，OP 是球的半径，OQ是棱长的一半，求出PQ的2倍即可求出直线EF被球O截得的线段长．‎ ‎【解答】解：正四棱柱对角线为球直径，A1C2=1+1+4，‎ 所以R=，所以球的表面积为6π；‎ 由已知所求EF是正四棱柱在球中其中一个截面的直径上的一部分，Q为EF的中点，‎ d=，R=，所以PQ==，‎ 所以2PQ=．‎ 故答案为：6π；‎ ‎　‎ ‎16．已知直线l：y=k（x+1）﹣与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线过圆心．求解k的值．得到直线AB的倾斜角，根据AOC和OBD是两个全等的直角三角形，OA=OB=2‎ 即可求出OC和OD．即可得到|CD|的长度．‎ ‎【解答】解：由圆的方程x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，‎ ‎∵弦长为|AB|=4=2r，说明，直线过圆心．‎ 则有：0=k（0﹣1）﹣，解得k=，‎ 直线AB的方程为：y=x．‎ 设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=，‎ ‎∴θ=60°‎ Rt△AOC中：|CO|===‎ 那么：|CD|=2|OC|=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA， •=3．‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的面积S；‎ ‎（Ⅱ）若c=1，求a的值．‎ ‎【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（I）由3asinC=4ccosA，利用正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，可得tanA，sinA，cosA．由•=3，可得bccosA=3，解得bc．即可得出S=bcsinA．‎ ‎（II）利用（I）及其余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵3asinC=4ccosA，∴3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，‎ ‎∴tanA=，可得sinA=，cosA=．‎ ‎∵•=3，∴bccosA=3，∴bc=5．‎ ‎∴S=bcsinA==2．‎ ‎（II）由（I）可得：b=5．‎ ‎∴a2=1+52﹣2×5×1×=20，‎ 解得a=2．‎ ‎　‎ ‎18．通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：‎ ‎　男 女 总计 爱好 ‎40‎ 不爱好 ‎25‎ 总计 ‎45‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）将题中的2×2列联表补充完整；‎ ‎（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 附：K2=，‎ p（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表数据共享将表中空白部分数据补充完整．‎ ‎（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；‎ ‎（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表如下：‎ ‎　男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎（Ⅱ）K2=≈8.25＞6.635，‎ ‎∴99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关；‎ ‎（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X的取值为0，1，2，‎ 则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E（X）=0×+1×+2×=1．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；‎ ‎（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性质可得：AC⊥BD，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．‎ ‎（2）分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC，‎ 底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ 又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，‎ 又AC⊂平面AEC，‎ ‎∴平面AEC⊥平面PDB．‎ ‎（2）解：分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，‎ 不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），‎ ‎=（0，2，0），=（﹣1，1，2），‎ 取平面ABC的一个法向量为，‎ 设平面ABE的法向量，则，可得，取=（2，0，1）．‎ ‎∴===．‎ ‎∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得关于c的方程，求出c，由离心率e==，求得a，由b2=a2﹣c2，求得b的值，即可求得椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，求出方程的根，从而表示出|PQ|以及点O到直线PQ的距离，从而表示出S△OPQ，再利用基本不等式的性质即可得出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设F（c，0）．‎ ‎∵直线AF的斜率为，‎ ‎∴=，解得c=．‎ 又离心率为e==，‎ 由b2=a2﹣c2，解得：a=2，b=1，‎ ‎∴椭圆E的方程为+y2=1．‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆方程联立，‎ 整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即k2＞时，‎ x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∴|PQ|=，‎ ‎∵点O到直线l的距离d=，‎ ‎∴S△OPQ=•d•|PQ|=，‎ 设=t＞0，则4k2=t2+3，‎ ‎∴S△OPQ==≤1，‎ 当且仅当t=2，即=2，解得k=±时取等号，且满足△＞0，‎ ‎∴△OPQ的面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中a∈R）‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有e＞成立．（注：e为自然对数的底数）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（Ⅲ）令a=1，得到≥1﹣lnx=ln，亦即≥，分别取 x=1，2，…，n，相乘即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx，（x＞0），f′（x）=1+lnx，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，‎ ‎∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，‎ ‎∴f（x）的极小值是f（）=﹣；‎ ‎（Ⅱ）h（x）=f′（x）+g（x）﹣1=lnx+，（x＞0），‎ h′（x）=﹣=，‎ ‎①a≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，无最值，‎ ‎②a＞0时，令h′（x）＞0，解得：x＞a，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜a，‎ ‎∴h（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，‎ ‎∴h（x）min=h（a）=1+lna，‎ ‎（Ⅲ）取a=1，由（Ⅱ）知，h（x）=lnx+≥f（1）=1，‎ ‎∴≥1﹣lnx=ln，亦即≥，‎ 分别取 x=1，2，…，n得≥，‎ ‎≥，≥，…，≥，‎ 将以上各式相乘，得：e＞成立．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE∥AB；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；‎ ‎（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．‎ 因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．‎ 因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，‎ 所以AB∥DE．…‎ ‎（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，‎ 又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．‎ 又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．‎ 所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，‎ 因此2AD•CD=AC•BC．…‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；‎ ‎（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得圆C的直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）把直线化成直角坐标方程，直线到圆上的距离最小，即是圆心到直线的d减去半径r．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2sinθ，可得：ρ2=2ρsinθ．‎ 由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得：．‎ 即圆的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，可得：．‎ 由（Ⅰ）可得：圆心为（0，），半径 圆心到直线的距离d==．‎ ‎∵|PC|的最小值等于圆心到直线的d减去半径r．‎ 所以：|PC|的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；‎ ‎（Ⅱ）若对∀x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质求出f（x）+3|x﹣2|的最小值，从而求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|=|x+1|﹣2|x﹣2|≥1，‎ x≥2时，x+1﹣2x+4≥1，解得：x≤4，‎ ‎﹣1＜x＜2时，x+1+2x﹣4≥1，解得：x≥，‎ x≤﹣1时，﹣x﹣1+2x﹣4≥1，无解，‎ 故不等式的解集是[，4]；‎ ‎（Ⅱ）若对∀x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，‎ 即若对∀x∈R，都有|x+1|+|x﹣2|＞m，‎ 而|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣x+2|=3，‎ 故m＜3．‎ ‎　‎ 还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题 ‎25．等比数列{an}的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（II）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式可得bn，再利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．‎ ‎∴=a2a6，即=，a1（2+3q）=16，‎ 解得a1=q=2，‎ ‎∴an=2n．‎ ‎（II）bn=log2a1+log2a2+…+log2an===，‎ ‎∴==2．‎ ‎∴数列{}的前n项和Sn=2+…+‎ ‎=2‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎2016年11月2日