专题12-1 概率、二项分布与正态分布-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

专题12-1 概率、二项分布与正态分布-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 第十二章 概率与统计 专题1 概率、二项分布与正态分布（理科）‎ ‎【三年高考】‎ ‎1.【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】B ‎【解析】如图所示,画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率．故选B．‎ ‎2. 【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.‎ ‎3．【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为 ‎4．【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎5．【2016年高考北京理数】A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（1）试估计C班的学生人数；‎ ‎（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）‎ ‎【解析】（1）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名，根据分层抽样方法，班的学生人数估计为；（2）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，，事件为“乙是现有样本中班的第个人”，，由题意可知，，；，，，‎ ‎,.设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，‎ ‎,因此 ‎（3）根据平均数计算公式即可知，.‎ ‎6.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）‎ ‎ A．1 B. C. D. ‎ ‎【答案】．‎ ‎7.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )‎ ‎（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.‎ ‎8. 【2015高考湖北，理4】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C．对任意正数， D．对任意正数，‎ ‎【答案】C ‎9.【2015高考广东，理13】已知随机变量服从二项分布，若，，则 .‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】依题可得且，解得，故应填入．‎ ‎10. 【2014高考湖北卷理第7题】由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，‎ 由几何概型公式知，该点落在内的概率为，选D.‎ ‎11. 【2014全国1高考理第5题】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎12. 【2014全国2高考理第5题】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45‎ ‎【答案】A ‎【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则，故选A.‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 概率问题是每年高考必考内容.主要考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式，以及几何概型，条件概率等基本公式的应用.‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出 , 只要我们理解和掌握各种概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化，本部分题多为中低档题.一般是一个选择题、一道解答题.选择题或填空题以中低档题为主， 解答题中等难度，重点考查基本概念及运算，往往与统计问题综合在一起，如以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，在同一个问题中同时考查概率与统计的知识，成为近年命题的一个明显趋势.预测2017年的高考在概率依然会有一道小题，一道大题，难度中等，但应充分注意以统计为载体问题实质涉及概率与统计的综合解答题有可能连续出现，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，概率统计将是重点考查内容.概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神.‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 本节内容高考的重点就是利用等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式, 事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式等基本公式的应用, 重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下.‎ ‎【考点1】随机事件的概率 ‎【备考知识梳理】‎ 事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.‎ 等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.使用公式P（A）=计算时,确定m、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.‎ ‎【规律方法技巧】‎ 求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.（3）应用等可能性事件概率公式P=计算.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1．【2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟】某单位从包括甲、乙在内的5名应聘者中招聘2人，如果这5名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2.【2016届天津市和平区高三三模】已知集合，集合，从集合中随机选取一个数，从集合中随机选取一个数，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】从集合中选一个数有种可能,从集合中选一个数有种可能,共有种可能；其中满足的有,共种可能,由古典概型公式可.因此应选C．‎ ‎【考点2 】互斥事件有一个发生的概率 ‎【备考知识梳理】‎ 事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P ‎（）=1.‎ 当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）.‎ 对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.‎ 概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用.‎ ‎【规律方法技巧】‎ 如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P（A）=1－P（）计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.‎ 求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1．【2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟】甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试.根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因三人中有一人或两人达标，其概率为,故应填.‎ ‎2.【2016届广东省佛山市高三上期末】某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【考点3】相互独立事件同时发生的概率 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.‎ 当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别. ·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=.‎ ‎2.条件概率及其性质 ‎(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.‎ 在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.‎ ‎(2)条件概率具有的性质：‎ ‎①；‎ ‎② 如果和是两互斥事件，则．‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 条件概率的求法 ‎(1)定义法：先求和，再由，求；‎ ‎(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.‎ ‎2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．‎ ‎3.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B）..在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.‎ 首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P（A）·P（B）.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（A·B）+P（A·）+P（·B）；法二：P（A+B）=1－P（·）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.‎ 某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.【2016届江西省上高二中高三全真模拟】某射击手射击一次击中目标的概率是0．7，连续两次均击中目标的的概率是0．4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设“某次射中”为事件，“随后一次的射中”为事件，则，所以，故选C．‎ ‎2.【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点4】几何概型 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．（1）随机数的概念：‎ 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.‎ ‎（2）随机数的产生方法 ‎①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；‎ ‎②在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数.‎ ‎2.几何概型 ‎（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型． ‎ ‎（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；‎ ‎②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．‎ ‎（3）几何概型的解题步骤：‎ 首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式 ；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.‎ ‎（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答.一般与线性规划知识有联系.‎ ‎3．几种常见的几何概型 ‎（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：‎ P=l的长度/L的长度 ‎（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：‎ P=g的面积/G的面积 ‎（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：‎ P=v的体积/V的体积 ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.几何概型的常见类型的判断方法 ‎(1)与长度(角度)有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．‎ ‎(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．‎ ‎(3)与体积有关的几何概型．对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．‎ ‎2.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．‎ 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，利用公式可求．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1．【2016届安徽省安庆市高三第三次模拟】我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落到正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆的半径为，则，得，故选B.‎ ‎2. 【2016届山东省临沂十八中高三三模】已知，是的导函数，则在区间任取一个数使得的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，因此所求概率为，选D.‎ ‎【考点5】二项分布与正态分布 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1. 二项分布 在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．‎ ‎2. 总体密度曲线:‎ 样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．‎ 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线及轴所围图形的面积．‎ ‎3．正态分布密度函数：‎ ‎，（，）‎ 其中π是圆周率；是自然对数的底；是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差.正态分布一般记为 ‎ 正态分布的定义及表示 函数，其中实数和（>0）为参数.我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.‎ 如果对于任何实数，随机变量满足则称随机变量服从正态分布，正态分布完全由参数确定，因此正态分布常记作，如果随机变量服从正态分布，则记为~．正态分布）是由均值和标准差唯一决定的分布 ‎4．正态曲线有以下性质：‎ ‎（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；‎ ‎（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；‎ ‎（3）曲线在处达到峰值；‎ ‎（4）曲线与轴围成的图形的面积为1；‎ ‎（5）当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移；‎ ‎（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ ‎5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ‎①P(μ－σb,b

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