2020年普通高等学校招生全国统一考试6月调研测试卷（重庆市2020届康德卷6月三诊卷）理科数学试题答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试6月调研测试卷（重庆市2020届康德卷6月三诊卷）理科数学试题答案

6 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 1页 共 5 页 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 6 月调研测试卷 理科数学参考答案 一、选择题 1～6 BADDAC 7～12 DDBACB 第 5 题解析： 2 7 9 63 27a a a a    6 9a  ， 8 9 9 0S S a   ， 9 6 33 a ad     ，选 A． 第 6 题解析： 110 10  ， ，故 1 0.9544( 130) ( 2 ) 0.02282P X P X         ，估计学生人数为 1000 0.0228 22.8  ，选 C. 第 7 题解析：设 ( 2 )c a      ， ，由 55 5 55| | c b b           ， | | 5c  ，选 D． 第 8 题解析：设 n   ，可举出符合 A，B，C 选项的例子，选项 A，在平面 ， 内各取一条与 n 平行的直 线l m， ，则 / /l m ；选项 B，已知 m  ，在平面 外取一条直线 / /l n ，则 / /l m l ， ；选项 C，在平面 内取两条均与 n 平行的直线 l m， ，则 / / / /l m ， . 对于 D 选项， / /l m l m   ， ，又 m  ，故 / /  ，故选 D． 第 9 题解析：相邻音阶的频率之比为 12 1 2 ，键盘 2f 是 1b 后的第 6 个音阶，故频率之比为 6 12 1 1( ) 2 2  ，选 B． 第 10 题解析： ( ) sin 2 cos sin cos2 sin(2 )f x x x x      ，由题知 ( )f x 的图象关于直线 5 12x  对称， 故 52 12 2k      （ k Z ），即 3k    ，故选 A． 第 11 题解析：由题知 A 在第一象限， B 在第四象限，由 3AB BP  知 4A Bx x ，则 2A By y  ， 又 A F B， ， 三点共线 2 A B B A B B y y y px x x     2 2 2 2 B BA B yp y py y p    2 A By y p  ， 2 21 2 Ay p   ，即 2Ay p ， Ax p ，由QA 斜率为1得 21 12 2 A A y p x p     2( 2 1)p   ． 12．解析： 2(2) 1 2 22 af a bb       ， 2 2 33( ) 0 1 123 2 3 a f a b b        ，故 4 2a b ， ， 2 4( ) log 2 xf x x    ，设点C D， 的横坐标分别为 1 2x x， ，由题知 BA CD  ，则 2 1 4 3x x  ， 2 1( ) ( ) 1f x f x  2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ( 2) ( 2)log 1 2 2 4( 2) ( 2) x x x x x x x xx x x x          ，将 2 1 4 3x x  代入解得 1 2 3x  或 4 ，C 不与 B 重合，故 1 4x   ， ( 4 3)C  ， ， 4( 1)3BA  ， ， 14( 3)3BC   ， ， 6 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 2页 共 5 页 故平行四边形 ABCD 的面积 4 14 26| 3 1 ( ) |3 3 3S       ，选 B． 二、填空题 13． 2 14． 4 15． 9 16． ( 30 35]， 第 14 题解析： (0)f a ， ( ) cos 2 ( 1) (0) 1 2 3f x x a x f a         ，故 2a  ，又 3y x b   过 (0 )a， ， 2b a   ， 4a b   ． 第 15 题解析：令 1x  得各项系数之和为 a ，则 1a   ， 2 5 2 5 5 5( 1)(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)x x x x x x x x         ， 显然这三项展开后，只有后面两项有 x ，即 5 4 4 5( 1) 2 ( 1)x C x       ，故系数和为 9 ． 第 16 题解析：设公差为 d ，a b d c b d   ， ，则 2 2 2 2 2105 3 2a b c b d     ，不妨设 0d ≥ ，则 a b c  即 2 bd  ，故 2 2 23 105 3 2 bb b ≤ ，即 230 35b ≤ ， 30 35b  ≤ ． 三、解答题 17．（12 分） 解：（1）由题知 1 26 4 2n n nS S S   ，即 1 2 12( )n n n nS S S S     ，即 1 22 n na a  ，公比为 2 ……4 分 又 1 1a  ， 12n na   ；……6 分 （2）由题知{ }nb 是首项为 0 ，公差为1的等差数列，故 1nb n  ，……8 分 2 1 2 2 1 3 2 1 2 4 2 1 4 1 2 1 4 1 1 4 2 3 3 n n n n n nc c c a a a b b b n n                       . ……12 分 18．（12 分） 解：（1）学生甲得160分即第 1、2 题做对一道，第 3、4 题都做对，故 (0.6 0.3 0.4 0.7) 0.5 0.2 0.046P        ；……4 分 （2）由题知学生甲第 1 题必得 40 分，只需考虑另三道题的得分情况， 故 X 的所有可能取值为 40 80， ， 100 140 160 200， ， ， ， ……6 分 ( 40) 0.3 0.7 0.7 0.147P X      ， ( 80) 0.7 0.7 0.7 0.343P X      ， 1 2( 100) 0.3 0.3 0.7 0.126P X C      ， 1 2( 140) 0.7 0.3 0.7 0.294P X C      ， ( 160) 0.3 0.3 0.3 0.027P X      ， ( 200) 0.7 0.3 0.3 0.063P X      ， 即 X 的分布列为 . ……12 分 19．（12 分） 解：（1）取 BC 的中点 F ，连接 AF EF， ，则 1/ / / /EF B B DA ，且 1 1 2EF B B DA  ， / /DE AF 且 DE AF ，又 ABC 为等腰直角三角形， AF BC  ，由 1A A  面 ABC 且 1 1/ /A A B B 知 1B B  面 ABC ， 1B B AF  ， 1B B BC B ， AF  面 1 1BCC B ； DE  面 1 1BCC B ……5 分 （2）过 F 作 FH AB 于 H ，显然 1FH  ， X 40 80 100 140 160 200 P 0.147 0.343 0.126 0.294 0.027 0.063 1B 1A C B A ED 1C F H x y z 6 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 3页 共 5 页 由 1A A  面 ABC 知 1A A FH ， FH  面 1 1AA B B ，即点 F 到平面 1 1AA B B 的距离为1， 又 1/ /EF B B ， EF  面 1 1AA B B ， / /EF 面 1 1AA B B ， 故点 E 与点 F 到平面 1 1AA B B 的距离相等， 1 1sin30 E ABd BE BE   面 ， 2BE  ， 2EF  ， 1 2 2B B  . ……7 分 以 F 为原点， FA FB FE   ， ， 分别为 x y z， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则 (0 2 0)B ， ， ， (0 2 0) ( 2 0 2) (0 0 2)C D E， ， ， ， ， ， ， ， ，  (0 2 2 0) ( 2 2 2) (0 2 2)CB BD BE      ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面CBD 和平面 BDE 的法向量分别为 1 1 1 2 2 2( ) ( )m x y z n x y z  ， ， ， ， ， ，则 1 1 1 1 2 2 0 2 2 2 0 y x y z      令 1 1x  ，得 (1 0 1)m   ， ， ， 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 y z x y z       令 2 1y  ，得 (0 1 1)n  ， ， ，……10 分 1 1cos 22 2 m n        ， ，由图知所求二面角为锐角，故二面角C BD E  为 3  ．……12 分 20．（12 分） 解：（1）由题知 2b c  ， 2a  ，故椭圆C 的方程为 2 2 14 2 x y  ；……4 分 （2）由 2 2 14 2 x y y kx m       得 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x kmx m     ， 2 2 2 28(2 4 ) 0 4 2m k k m        ， 设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，则 2 1 2 1 22 2 4 2 4 2 1 2 1 km mx x x xk k      ， ，……5 分 由直线 AP PQ AQ， ， 的斜率成等比数列得 1 2 1 22 1 2 1 2 3 3 2 2 2 2 m my y kx m kx m k x x x x         ， 即 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 9( )2 4k x x k x x mk x x m    ，又 0m  ， 1 2 3( ) 2k x x m    ， 即 2 2 4 3 2 1 2 k m mk    ， 2 3 2k  ，……8 分 又 1 2 1 | | | |2OPQS m x x     ， 2 2 2 2 8(2 4 ) 8(8 )6 | | | | 2 2 2 1 2 4 m k mm m k        即 4 28 12 0m m   ， 2 2m  或 6 ，均满足 0  ，……11 分 又 0 0k m ， 且 P Q、 均不在 y 轴上， 6 62k m  ， ， 6 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 4页 共 5 页 故直线l 的方程为 6 62y x  . ……12 分 21．（12 分） 解：（1） 1( ) xf x x ae x     ，由题知 1( ) 02f   ，即 1 2 02 a e   ， 3 2 a e   ，……2 分 又 2 1( ) 1 0xf x ae x      ， ( )f x 在 (0 ) ， 上单增，故当 3 2 a e  时，有 1(0 )2x ， 时 ( ) 0f x  ， 1( )2x  ， 时 ( ) 0f x  ， 1 2x  是 ( )f x 的极小值点； ……4 分 （2）当 1a≥ 时，对任意 0x  有 x xae e≥ ，即 21( ) ln2 xf x x e x ≥ ， 故要证 13( ) ln 28f x   ，只需证 21 13ln ln 22 8 xx e x    ，……5 分 令 21( ) ln2 xg x x e x   ，则 1( ) xg x x e x     ， 2 1( ) 1 0xg x e x      ， ( )g x 在 (0 ) ， 上单增，又 1 3( ) 02 2g e    ， 31 8( ) 03 3g e    ， 故存在 0 1 1( )3 2x  ， 使得 0( ) 0g x  ，则 ( )g x 在 0(0 )x， 上单减，在 0( )x ， 上单增， 02 0 0 0 1( ) ( ) ln2 xg x g x x e x   ≥ ……8 分 又 0 0 0 1 0xx e x    ， 2 0 0 0 0 0 1 1( ) ln2g x x x xx      ，……9 分 令 21 1( ) ln2h x x x xx     1 1( )3 2x  ，则 2 1 1( ) 1 0h x x x x       ， ( )h x 在 1 1( )3 2 ， 上单减， 1 13( ) ( ) ln 22 8h x h    ，故 0 13( ) ln 28g x   ，所以 13( ) ln 28g x   ，原不等式得证．……12 分 22．（10 分） 解：（1）曲线 :C 2 2( 1) 1x y   即 2 2 2 0x y y   ，即 2 2 sin 0    即 2sin  ，……5 分 （2）由题知 1l 的极坐标方程为 ( )2 R     ，则 2sin 2sin( ) 2cos2 2 B              ， 故| | 2sinOP  ，| | 2cosAP  ，| | 2cos 2sinBP    ……8 分 1 2(cos sin ) 2cos 1 cos2 sin 2 1 2 sin(2 )2 4ABPS                 ， 故当 2 4 2     即 8   时，面积取得最大值1 2 . ……10 分 23．（10 分） 6 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 5页 共 5 页 解：（1） 14 2 1( ) 5 2 1 2 4 1 x x f x x x x x             ， ≥ ， ≤ ， ，三段的值域分别是 9 9 3 32 2y y y   ≤ ， ≤ ， ， 故 ( ) ( 3]f x  ， ，即 3M  ；……5 分 （2）由（1）知 3 3 1 1 3aba b   ，故 4 4 3 3 3 3 3 3 1 1 1( ) ( )( )3a b ab ab a b a ba b       ， ……7 分 又 0 0a b ， ，所以可由柯西不等式得 3 3 2 3 3 1 1( )( ) (1 1) 4a ba b    ≥ ， 当且仅当 5 2 3a b  时等号成立，故 4 4 4 3a b ab ≥ . ……10 分