命题角度4-4 空间中角的问题(第01期)-2018年高考数学(文)备考之百强校大题狂练系列

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命题角度4-4 空间中角的问题(第01期)-2018年高考数学(文)备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学(文)大题狂练 命题角度4:空间中角的问题 ‎1.如图,在四棱锥中, 平面, ,且, , , 为线段上一点, ,且为的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明: 平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】【试题分析】(1)运用两线面平行的判定定理分析推证;(2)运用面面垂直的判定定理分析推证;(3)依据题设条件运用线面角的定义先找出线面角,再借助解三角形的知识求解:‎ ‎(1)取,中点,,连,,,由为中点,所以,且.由,,则,又,则.‎ 所以四边形为平行四边形,所以,且面,面,则面.‎ ‎(2)∵,∴,又,所以四边形为平行四边形,故.又∵面.面,∴.又,所以面,∵面,∴面面.‎ ‎(3)过作,垂足为.由(2)知面面,面面,面,∴面,连接,.‎ 则为在平面上的射影,∴为与平面所成角. 中 ‎,‎ ‎,,‎ ‎∴与平面所成角正弦值为. ‎ 点睛:立体几何是高中数学中的传统内容之一,也是高考重点考查的内容和考点。求解本题第一问时,直接运用线面平行的判定定理进行分析推证,从而使得问题获解;解答第二问时,先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直,再运用面面垂直的判定定理分析推证进而使得问题获解;解答第三问时,先依据题设条件运用线面角的定义先找出线面角(即斜线与其射影所成角),再借助解三角形的知识求解而获解。‎ ‎2.如图, 是平行四边形, 平面, , , , .‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)求证:平面平面;‎ ‎(3)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析(3)‎ ‎【解析】试题分析: (1)由线线平行得到线面平行; (2)由面面垂直的判定定理证明; (3)利用直线与平面所成的角定义,找出直线 与平面所成的角,再求出角度.‎ ‎(2)中, , ‎ 所以 ‎∴ ∴ ‎ ‎∵平面 平面 ‎∴ 又∵ ∴平面 ‎ 又平面 ∴平面平面 ‎ ‎(3)作于,连,可证平面 为与平面所成角 ‎ ‎, , , ,‎ ‎。 ‎ 答: 直线与平面所成角的正弦值为 ‎3.已知三棱柱中, ,侧面底面, 是的中点, .‎ ‎(Ⅰ)求证: 面; ‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成线面角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)取中点,连接,‎ 中, ,故是等边三角形,∴,‎ 又,而与相交于,∴面,‎ 故,又,所以,‎ 又∵侧面底面于, 在底面内,∴面.‎ ‎(Ⅱ)过作平面,垂足为,连接, 即为直线与平面所成的角,‎ 由(Ⅰ)知,侧面底面,所以平面,由等边知,‎ 又∵平面,‎ ‎∴,‎ 由(Ⅰ)知面,所以,∴四边形是正方形,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴在中, ,‎ 所以直线与平面所成线面角的正弦值为.‎ 点睛:(1)求直线与平面所成的角的一般步骤:‎ ‎①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;‎ ‎②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.‎ ‎(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行,在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.‎ ‎4.如图,在棱台中, 与分别是棱长为1与2的正三角形,平面平面,四边形为直角梯形, , , 为中点, (, ).‎ ‎(1)设中点为, ,求证: 平面;‎ ‎(2)若到平面的距离为,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)延长三棱台的三条侧棱,设交点为, 时为的中点,设中点为,连梯形中,中位线,根据线面平行的判定定理可得平面;同理可证平面,然后再根据面面平行的判定定理可得,平面平面,进而可证命题成立;(2)设中点为,连,在中作且交于点,由面面垂直的性质定理,可得,又,所以平面,所以为到平面的距离, ‎ 且为直线与平面所成角;再根据面面垂直的性质定理,可得可得, 中为的中点 ,由此即可求出线面角的正弦值.‎ 又且平面, 平面 所以平面平面 所以平面 ‎(2)设中点为,连,在中作且交于点,‎ 又,所以平面,‎ 所以为到平面的距离, ‎ 且为直线与平面所成角 平面,所以, 中 为的中点 ‎ ‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎5.如图,在等腰梯形中, , , ,四边形为矩形, ,平面平面,点为线段中点.‎ ‎(Ⅰ)求异面直线与所成的角的正切值;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】【试题分析】(1)借助异面直线所成角的定义找出角,再运用解三角形的知识求解;(2)依据题设线面垂直\面面垂直的判定定理推证;(3)借助线面角的定义先找出线面角,再运用解直角三角形求解:‎ ‎(Ⅰ)解:取的中点,连接, .‎ ‎∵四边形为矩形, 为线段中点,‎ ‎∴且,‎ ‎∴,‎ ‎∴为异面直线与所成的角.‎ 在中, , ,‎ ‎∴且,‎ 又∵平面 平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∴.‎ 在中, , .‎ ‎(Ⅲ)过点作,‎ 由第(Ⅱ)问知平面平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∴为直线与平面所成的角.‎ 在中, , ,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎6.如图,在菱形中, 与相交于点, 平面, .‎ ‎(I)求证: 平面;‎ ‎(II)当直线与平面所成的角的余弦值为时,求证: ;‎ ‎(III)在(II)的条件下,求异面直线与所成的余弦值.‎ ‎【答案】(I)见解析;(II)见解析;(III).‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(I)要证与平面垂直,只要证与平面内两条相交直线垂直即可,这由已知线面垂直可得一个,又由菱形对角线垂直又得一个,由此可证;(II)由已知线面垂直得平面,从而知为直线与平面所成的角,从而可得,然后计算出三线段的长,由勾股定理逆定理可得垂直;‎ ‎(III)取中点,则有,从而可得异面直线所成的角,再解相应三角形可得.‎ 试题解析:‎ ‎(I)平面 ;‎ ‎(III)取边的中点,连接且为所求的角或其补角,而在中, 中 异面直线与所成的余弦值为.‎
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