- 2021-06-17 发布 |
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文档介绍
命题角度4-4 空间中角的问题(第01期)-2018年高考数学(文)备考之百强校大题狂练系列
2018届高考数学(文)大题狂练 命题角度4:空间中角的问题 1.如图,在四棱锥中, 平面, ,且, , , 为线段上一点, ,且为的中点. (Ⅰ)证明: 平面; (Ⅱ)求证:平面平面; (Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】【试题分析】(1)运用两线面平行的判定定理分析推证;(2)运用面面垂直的判定定理分析推证;(3)依据题设条件运用线面角的定义先找出线面角,再借助解三角形的知识求解: (1)取,中点,,连,,,由为中点,所以,且.由,,则,又,则. 所以四边形为平行四边形,所以,且面,面,则面. (2)∵,∴,又,所以四边形为平行四边形,故.又∵面.面,∴.又,所以面,∵面,∴面面. (3)过作,垂足为.由(2)知面面,面面,面,∴面,连接,. 则为在平面上的射影,∴为与平面所成角. 中 , ,, ∴与平面所成角正弦值为. 点睛:立体几何是高中数学中的传统内容之一,也是高考重点考查的内容和考点。求解本题第一问时,直接运用线面平行的判定定理进行分析推证,从而使得问题获解;解答第二问时,先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直,再运用面面垂直的判定定理分析推证进而使得问题获解;解答第三问时,先依据题设条件运用线面角的定义先找出线面角(即斜线与其射影所成角),再借助解三角形的知识求解而获解。 2.如图, 是平行四边形, 平面, , , , . (1)求证: 平面; (2)求证:平面平面; (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【解析】试题分析: (1)由线线平行得到线面平行; (2)由面面垂直的判定定理证明; (3)利用直线与平面所成的角定义,找出直线 与平面所成的角,再求出角度. (2)中, , 所以 ∴ ∴ ∵平面 平面 ∴ 又∵ ∴平面 又平面 ∴平面平面 (3)作于,连,可证平面 为与平面所成角 , , , , 。 答: 直线与平面所成角的正弦值为 3.已知三棱柱中, ,侧面底面, 是的中点, . (Ⅰ)求证: 面; (Ⅱ)求直线与平面所成线面角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) . 试题解析: (Ⅰ)取中点,连接, 中, ,故是等边三角形,∴, 又,而与相交于,∴面, 故,又,所以, 又∵侧面底面于, 在底面内,∴面. (Ⅱ)过作平面,垂足为,连接, 即为直线与平面所成的角, 由(Ⅰ)知,侧面底面,所以平面,由等边知, 又∵平面, ∴, 由(Ⅰ)知面,所以,∴四边形是正方形, ∵,∴, ∴在中, , 所以直线与平面所成线面角的正弦值为. 点睛:(1)求直线与平面所成的角的一般步骤: ①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成; ②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解. (2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行,在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角. 4.如图,在棱台中, 与分别是棱长为1与2的正三角形,平面平面,四边形为直角梯形, , , 为中点, (, ). (1)设中点为, ,求证: 平面; (2)若到平面的距离为,求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析:(1)延长三棱台的三条侧棱,设交点为, 时为的中点,设中点为,连梯形中,中位线,根据线面平行的判定定理可得平面;同理可证平面,然后再根据面面平行的判定定理可得,平面平面,进而可证命题成立;(2)设中点为,连,在中作且交于点,由面面垂直的性质定理,可得,又,所以平面,所以为到平面的距离, 且为直线与平面所成角;再根据面面垂直的性质定理,可得可得, 中为的中点 ,由此即可求出线面角的正弦值. 又且平面, 平面 所以平面平面 所以平面 (2)设中点为,连,在中作且交于点, 又,所以平面, 所以为到平面的距离, 且为直线与平面所成角 平面,所以, 中 为的中点 直线与平面所成角的正弦值为. 5.如图,在等腰梯形中, , , ,四边形为矩形, ,平面平面,点为线段中点. (Ⅰ)求异面直线与所成的角的正切值; (Ⅱ)求证:平面平面; (Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】【试题分析】(1)借助异面直线所成角的定义找出角,再运用解三角形的知识求解;(2)依据题设线面垂直\面面垂直的判定定理推证;(3)借助线面角的定义先找出线面角,再运用解直角三角形求解: (Ⅰ)解:取的中点,连接, . ∵四边形为矩形, 为线段中点, ∴且, ∴, ∴为异面直线与所成的角. 在中, , , ∴且, 又∵平面 平面, ∴平面, ∴. 在中, , . (Ⅲ)过点作, 由第(Ⅱ)问知平面平面, ∴平面, ∴为直线与平面所成的角. 在中, , , ∴,∴, ∴, ∴直线与平面所成角的正弦值为. 6.如图,在菱形中, 与相交于点, 平面, . (I)求证: 平面; (II)当直线与平面所成的角的余弦值为时,求证: ; (III)在(II)的条件下,求异面直线与所成的余弦值. 【答案】(I)见解析;(II)见解析;(III). 【解析】试题分析: (I)要证与平面垂直,只要证与平面内两条相交直线垂直即可,这由已知线面垂直可得一个,又由菱形对角线垂直又得一个,由此可证;(II)由已知线面垂直得平面,从而知为直线与平面所成的角,从而可得,然后计算出三线段的长,由勾股定理逆定理可得垂直; (III)取中点,则有,从而可得异面直线所成的角,再解相应三角形可得. 试题解析: (I)平面 ; (III)取边的中点,连接且为所求的角或其补角,而在中, 中 异面直线与所成的余弦值为.查看更多