数学理卷·2017届湖北省部分重点中学高三上学期第二次联考（2017

数学理卷·2017届湖北省部分重点中学高三上学期第二次联考（2017

湖北省部分重点中学2017届高三第二次联考 高三数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合，集合，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数满足（i是虚数单位），则的共轭复数 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.在等差数列中，，设数列的前项和为，则 ‎ A. 18 B. 99 C. 198 D. 297‎ ‎4.已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知的最大值为A,若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图所示，在四边形中，,将沿折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是 ‎ A.平面平面 B.平面平面 C. 平面平面 D.平面平面 ‎8.若等边的边长为3，平面内一点M满足，则的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若实数满足不等式，且的最大值为9，则实数 ‎ A. B. C. 1 D.2‎ ‎11.若抛物线上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到轴的最短距离为 ‎ A. B. C. 1 D.2‎ ‎12.已知，则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量满足，与的夹角为，则 .‎ ‎14.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，菀草第一天长高1尺。以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第 天，蒲草和菀草高度相同.（已知，结果精确到）‎ ‎15.已知函数，若正实数满足，则的最小值为 .‎ ‎16.在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD,则的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分12分）已知等差数列满足 ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）求数列的前项和.‎ ‎18.（本题满分12分）在中,角的对边分别是，若 ‎ （1）求角;‎ ‎ （2）若，求的面积.‎ ‎19.（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且 ‎ （1）求证：;‎ ‎ （2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由.‎ ‎20.（本题满分12分）已知椭圆过点，且焦距为2.‎ ‎ （1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎ （2）设过点的直线与椭圆C交于不同的两点A,B，点，如果，求直线的方程.‎ ‎21.（本题满分12分）设函数对恒成立.‎ ‎ （1）求的取值集合；‎ ‎ （2）求证：.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎ （1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎ （2）若直线（为参数）与圆交于A,B两点，且，求的值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （1） 若，解不等式；‎ （2） 若存在实数，使得成立，试求的取值范围.‎ 湖北省部分重点中学2017届高三第二次联考 高三理科数学参考答案 一、选择题 ‎1—5： 6—10： 11—12：‎ 二、填空题 ‎13、2 14、2.6 15、1 16、2‎ 三、解答题 ‎17、（1）设等差数列的公差为，由已知得 ……2分 即所以解得 ……4分 所以． ……6分 ‎（2）由（1）得，‎ 所以，①‎ ‎，② ……8分 得： ……10分 所以． ……12分 ‎18、（1）由正弦定理得： ……2分 又∵ ∴‎ 即 ……4分 又∵ ∴，又A是内角 ∴ ……6分 ‎（2）由余弦定理得： ……8分 ‎∴ 得： ∴ ……10分 ‎∴ ……12分 ‎19、（1）证明：连接交于点，‎ 因，则 由平面侧面，且平面侧面，‎ 得，又平面， 所以. ……2分 三棱柱是直三棱柱，则，所以. ……3分 又，从而侧面 ，又侧面，故.‎ ‎……5分 ‎（2）由（1），则直线与平面所成的角 所以，又，所以 ……7分 假设在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为 由是直三棱柱，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则由，，得 ‎ 所以，‎ 设平面的一个法向量，由， 得：‎ ‎，取 ……9分 由（1）知，所以平面的一个法向量 ‎……10分 所以，解得 ‎∴点为线段中点时，二面角的大小为 ……12分 ‎20、（1）设动圆的半径为，则 所以圆心的轨迹为以与为焦点的椭圆， ……3分 设椭圆 则，所以曲线的方程： ……5分 ‎（2）设直线，‎ 由方程组 ①‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎②， ……7分 设直线与轴的交点为，则，‎ 令， ……9分 设，‎ 则，‎ 当时，即时，的面积取得最大值1 ……12分 ‎21、（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根.‎ 转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点……2分 又，即时，，时，，‎ 所以在上单调增，在上单调减，从而.‎ 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， ……4分 所以由的图象，要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，只需，即 ……5分 ‎（2）由（1）可知分别是方程的两个根，即，，‎ 设，作差得，，即.‎ 原不等式等价于 ‎ ……7分 令，则，， ……9分 设，，，‎ ‎∴函数在上单调递增，∴，‎ 即不等式成立，故所证不等式成立. ……12分 ‎22、（1）对于C：由 ……2分 对于 有 ……4分 ‎（2）设A,B两点对应的参数分别为 将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程 ‎ 得 ‎ 化简得 ……6分 ‎ ……10分 ‎ ‎