2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题

2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题

‎2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．如果集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据补集的定义写出运算结果 ‎【详解】‎ 集合，‎ ‎,故选D .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集的运算,对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA.‎ ‎2．已知平面向量,满足,,与的夹角为,若,则实数的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 分析：由，可得（+m）•=0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．‎ 详解: ∵||=3，||=2，与的夹角为120°，‎ ‎∴=cos120°==﹣3．‎ ‎∵（+m）⊥，‎ ‎∴（+m）•==32﹣3m=0，解得m=3．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．‎ ‎3．在中，，，，则的面积为（）‎ 第 19 页 共 19 页 A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先利用余弦定理求出，利用三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得：，‎ 化为：，解得，‎ ‎∴的面积，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4．已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较a,b,c的大小即可.‎ ‎【详解】‎ 由指数函数的性质可知：，，‎ 由对数函数的性质可知，‎ 据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎5．标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 第 19 页 共 19 页 ‎，下列数据最接近的是 （）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，对取对数可得，即可得，分析选项即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 据题意，对取对数可得，即可得 分析选项：B中与其最接近，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．‎ ‎6．已知函数的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得04时,, ∴的递增区间为.‎ ‎(2)假设存在,使得命题成立,此时.‎ ‎∵, ∴.‎ 则在和递减,在递增.‎ ‎∴在[2,3]上单减,又在[2,3]单减.‎ ‎∴,‎ 因此,对恒成立.‎ 即, 亦即恒成立.‎ ‎∴∴. 又故的范围为.‎ ‎【考点】本题考查利用导数求函数的单调区间、导数在最大值、最小值问题中的应用及恒成立的问题.‎ 点评：利用导数研究含参函数的单调区间，关键是解不等式，因此要研究含参不等式的解法，应注意对参数的讨论；研究是否存在问题，通常先假设存在，转化为封闭性问题，对于恒成立问题，一般应利用到函数的最值，而最值的确定又通常利用导数的方法解决．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第 19 页 共 19 页 ‎【答案】（1）（2）存在定点满足题意 ‎【解析】（1）由题意得，再根据右焦点为，求出的值，就可得到的值，再根据，，的关系，解出值，则椭圆方程可知；（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，求出，，设出M点坐标，以及，要使其为常数，只需要，化简，可求出的值，当直线垂直于轴时，同样求出的值，两者一致，所以在轴上存在定点M，使得为常数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，，又，解得，‎ 所以，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）若直线不l垂直于x轴，可设的方程为．‎ 由得．‎ ‎．‎ 设，，则，．‎ 设，则，，‎ 第 19 页 共 19 页 要使得（为常数），只要，‎ 即．‎ 对于任意实数k，要使式恒成立，‎ 只要，解得．‎ 若直线l垂直于x轴，其方程为，‎ 此时，直线l与椭圆两交点为，，‎ 取点，有，，‎ ‎．‎ 综上所述，过定点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点，使得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆方程的求法，以及动直线与椭圆相交时存在性问题的解法．做题时综合运用了向量数量积的运算，韦达定理的应用，属于难题.‎ ‎22．设定义在R上的函数，当时，取极大值，且函数的图象关于原点对称．‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）试在函数的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上；‎ ‎（3）设，，求证：．‎ 第 19 页 共 19 页 ‎【答案】（1）；（2），或者，；（3）详见解析.‎ ‎【解析】（1）由奇偶性易得，由极值定义得，求出，，即可求的表达式；（2）求导数，利用，即可得出结论；（3）分别求出、的范围，即可证明结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数的图象关于原点对称，‎ 所以函数是奇函数，即恒成立，‎ 所以，，‎ 由题意得，所以，‎ 所以，经验证满足题意，所以．‎ ‎（2），‎ 设所求两点为，，其中，‎ 得，‎ 因为，所以，或，‎ 即x1，x2为0，或，0‎ 从而所求两点的坐标分别为，或者，．‎ ‎（3）易知，‎ 当时，，即在上递减，‎ 第 19 页 共 19 页 得，即，‎ 又，函数在处取极大值，‎ 又，，，得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解，考查导数知识的运用，考查不等式的证明，知识综合性强，属于难题.‎ 第 19 页 共 19 页