四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第一次在线月考 数学（理）

四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第一次在线月考 数学（理）

射洪中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知复数 z 满足 为虚数单位），则 z＝ A．2＋ B．2－ C．－2＋ D．－2－ 3．在正三角形 ABC 中，AB＝2， ，且 AD 与 BE 相交于点 O，则 ＝ A．－ B．－ C．－ D．－ 4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众 30 50 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性 青年观众”的人中抽取了 6 人，则 A．12 B．16 C．24 D．32 {0,1,2,3}A = { | ln 1}B x N x= ∈ < A B = {0,1} {1,2} {0,1,2} {0,1,2,3} 1 2 (1 z i iz + = − +− i i i i 1, 2BD DC AE EC= =    OA OB   4 5 3 4 2 3 1 2 n n = 5．函数 的大致图像为 A． B． C． D． 6．已知曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离 心率为 A．2 B． C．3 D． 7．设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是 A． B． C． D． 8．已知函数 ，将其图象向左平移 （ ＞0）个单位长度后得 到的函数为偶函数，则 的最小值是 A． B． C． D． 9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介 绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加 上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它 是由个 3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF=2AF， 若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 A． B． C． D． 10．满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 11．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 经过点 且与双曲线的一条渐 近线垂直，直线 与双曲线的右支交于不同两点 ， ，若 ，则该双曲线的离心率 为 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( 2, 6) 2 3 ( ) sin2 sin 2 3f x x x π = + +   ϕ ϕ ϕ 12 π 6 π 3 π 5 6 π 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F l F l A B 3AF FB=  A． B． C． D． 12．已知四棱锥 ， 平面 ， ， ， ， ，二面角 的大小为 ，若四面体 的四个顶点都在同 一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是_________. 14．已知 ，则 ＝___ 15．已知函数 ， ，则 的值为__________． 16．记正项数列 的前 项和为 ，且当 时， .若 ， 则 ______. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）已知 a,b,c 分别是∆ABC 的内角 A, B,C,所对的边， （I）求角 B 的大小； （II）若∆ABC 的面积为 ，求∆ABC 周长的最小值． 18．（12 分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬 5 2 6 2 2 3 3 3 S ABCD− SA ⊥ ABCD AB BC⊥ BCD DAB π∠ + ∠ = 2SA = 2 6 3BC = S BC A− − 3 π SACD 4 2π 4π 8π 16π x y 2 4 0 1 0 2 1 0 x y x y x y + − ≤  − − ≤  + + ≥ 2 3 yz x += + sin 3cos 0α α− = sin 2α { }na n nS 2n ≥ 12 ( 1) 7n n na na n a −= − − + 2 9a = 40S = 2 2 2 2sin sin sin b c a C A bc B + − −= 3 天不再冷”冬衣募捐活动，共有 50 名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣 传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情 况，只参与其中的某一项工作．相关统计数据如下表所示： 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20 人 30 人 50 人 （Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人， 那么“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？ （Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有 12 名男生，8 名女生，从中选出 2 名志愿者，用 X 表示 所选志愿者中的女生人数，写出随机变量 X 的分布列及数学期望． 19．（12 分）如图，在多面体 中，四边形 为菱形， ， ，且平面 平面 . （I）求证： ； （II）若 ， ，求二面角 的余弦值. 20．（12 分）已知函数 ． （I）当 时，讨论函数 的单调性； （II）若函数 有两个极值点 ， ，证明: ． 21．（12 分）已知抛物线 ： （ ）的焦点是椭圆 ： （ ）的右焦点，且两曲线有公共点 （I）求椭圆 的方程； ABCDEF ABCD //AF DE AF AD⊥ BED ⊥ ABCD AF CD⊥ 60BAD∠ =  1 2AF AD ED= = A FB E− − C 2 2y px= 0p > M 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2 6 3 3       ， M （II）椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，若过点 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于 ， 两点，已知直线 与 相较于点 ，试判断点 是否在一定直线上？若在， 请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原 点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知 ， ， ，函数 . （I）当 时，求不等式 的解集； （II）当 的最小值为 时，求 的值，并求 的最小值. M 1A 2A ( )4 0B ， l M P Q 1A P 2A Q G G xOy C 2 3cos 1 3sin x y α α = +  = + α O x C ( 2,1)− l C A B 2AB = l 0a > 0b > 0c > ( )f x c a x x b= + − + + 1a b c= = = ( ) 3f x > ( )f x 3 a b c+ + 1 1 1 a b c + + 高三第一学月考试 理科数学参考答案 1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B 9．B 10．D 11．A 12．C 13．5 14． 15． 16．1840 17．（1） ， 由 得 ， ， ， ； （2）由（1）得 ， ， ， ， ， 对上述两个不等式，当且仅当 时等号成立， 此时 周长取最小值 . 18．（Ⅰ）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是 ， ∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有 20× =2 人， 参与整理、打包衣物者被抽中的有 30× =3 人， 故“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P=1﹣ = ． （Ⅱ）解：女生志愿者人数 X=0，1，2， 3 5 2 2 2b c a 2sinC sinA bc sinB + − −= a b c sinA sinB sinC = = 2 2 2c a b ac+ − = 2 2 2c a b 1cosB 2ac 2 + −∴ = = 0 B π< < πB 3 ∴ = πB 3 = ΔABC 1 3S acsinB ac 32 4 ∴ = = = ac 4∴ = 2 2b a c 2accosB = + − = 2 2a c 4 2ac 4+ − ≥ − 2= a c 2 ac 4+ ≥ = a c 2= = ΔABC 6 则 ， ， ， ∴X 的分布列为： ∴X 的数学期望 EX= = ． 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 19．（1）证明： 连接 ，由四边形 为菱形可知 ， ∵平面 平面 ，且交线为 ， ∴ 平面 ，∴ ， 又 ，∴ ， ∵ ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ； （2）解：设 ，过点 作 的平行线 ， 由（1）可知 两两互相垂直， 则可建立如图所示的空间直角坐标系 ， 设 ，则 ， 所以 ， AC ABCD AC BD⊥ BED ⊥ ABCD BD AC ⊥ BED AC ED⊥ / /AF DE AF AC⊥ ,AF AD AC AD A⊥ ∩ = AF ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD AF CD⊥ AC BD O∩ = O DE OG , ,OA OB OG O xyz− ( )1 2 02AF AD ED a a= = = > ( ) ( ) ( ) ( )3 ,0,0 , 0, ,0 , 3 ,0,2 , 0, ,4A a B a F a a E a a− ( ) ( ) ( ) ( )3 , ,0 , 0,0,2 , 0, 2 ,4 , 3 , ,2AB a a AF a BE a a BF a a a= − = = − = −    设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 取 ，则 为平面 的一个法向量， 同理可得 为平面 的一个法向量. 则 ， 又二面角 的平面角为钝角，则其余弦值为 . 20．（1）∵ ， ∴ ． ①当 ，即 时， ， 所以 在 单调递增； ②当 ，即 时， 令 ，得 ， ，且 ， ， 当 时， ； 当 时， ； ∴ 单调递增区间为 ， ； 单调递减区间为 ． 综上所述：当 时， 在 单调递增； 时， 在区间 ， 单调递增；在区间 单 调递减． （2）由（1）得 ． ∵函数 有两个极值点 ， ， ∴方程 有两个根 ， ， ABF ( ), ,m x y z = · 0 · 0 m AB m AF  =  =   3 0 2 0 x y z − + = = 3y = ( )1, 3,0m = ABF ( )0,2,1n = FBE 2 3 15cos , 52 5 m n = = × A FB E− − 15 5 − ∴ ，且 ，解得 ． 由题意得 ． 令 ， 则 ， ∴ 在 上单调递减， ∴ ， ∴ ． 21．（1）将 代入抛物线 得 ∴抛物线的焦点为 ，则椭圆 中 ， 又点 在椭圆 上，∴ ， 解得 ， 椭圆 的方程为 （2）方法一 当 点 为 椭 圆 的 上 顶 点 时 ， 直 线 的 方 程 为 ， 此 时 点 ， ， 则 直 线 和 直 线 ， 联 立 ，解得 ， 2 2 6 3 3       ， 2: 2C y px= 2p = ( )1,0 M 1c = 2 2 6,3 3       M 2 2 2 2 1 { 4 24 19 9 a b a b − = + = 2 24, 3a b= = M 2 2 14 3 x y+ = P l 3 4 4 3 0x y+ − = ( )0, 3P 8 3 3,5 5Q       1 : 3 2 2 3 0A Pl x y− + = 2 :3 3 2 6 3 0A Ql x y+ − = 3 2 2 3 0{ 3 3 2 6 3 0 x y x y − + = + − = 3 31, 2G       当点 为椭圆的下顶点时，由对称性知： . 猜想点 在直线 上，证明如下： 由条件可得直线 的斜率存在， 设直线 ， 联立方程 ， 消 得： 有两个不等的实根， ， 设 ，则 ， 则直线 与直线 联立两直线方程得 （其中 为 点横坐标） 将 代入上述方程中可得 ， 即 ， 即证 将 代入上式可得 ，此式成立 ∴点 在定直线 上. 方法二 由条件可得直线 的斜率存在， 设直线 联立方程 ， P 3 31, 2G  −    G 1x = PQ ( ) ( ): 4 0PQ y k x k= − ≠ ( ) 2 2 4{ 3 4 12 0 y k x x y = − + − = y ( )2 2 2 23 4 32 64 12 0k x k x k+ − + − = ( )( ) ( )2 4 2 2 232 4 4 3 4 16 3 16 9 1 4 0k k k k∆ = − ⋅ + − = ⋅ − > 2 10 4k∴ < < ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 1 2 2 32 3 4 kx x k + = + ( )2 1 2 2 64 12 *3 4 kx x k −⋅ = + ( ) 1 1 1 : 22A P yl y xx = ++ ( ) 2 2 2 : 22A Q yl y xx = −− ( ) ( )1 2 1 2 2 22 2 y yx xx x + = −+ − x G 1x = 1 2 1 2 3 2 2 y y x x −=+ − ( )( ) ( )( )1 2 2 13 4 2 4 2k x x k x x− − = − − + ( )1 2 1 24 10 16 0x x x x− + + = ( )* ( )2 2 2 2 4 64 12 10 32 163 4 3 4 k k k k × − ×− ++ + ( )2 2 2 2 16 16 3 20 3 4 03 4 k k k k − − + + = =+ G 1x = PQ ( )( ): 4 0PQ y k x k= − ≠ ( ) 2 2 4{ 3 4 12 0 y k x x y = − + − = 消 得： 有两个不等的实根， ， 设 ，则 ， ， 由 ， ， 三点共线，有： 由 ， ， 三点共线，有： 上两式相比得 ， 解得 ∴点 在定直线 上． 22．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 . （Ⅰ）消去参数 ，可得曲线 的普通方程为 ， .由 所以曲线 的极坐标方程为 . （Ⅱ）显然直线 的斜率存在，否则无交点. 设直线 的方程为 ，即 . 而 ，则圆心到直线 的距离 . 又 ，所以 ，解得 . y ( )2 2 2 23 4 32 64 12 0k x k x k+ − + − = ( )( ) ( )2 4 2 2 232 4 4 3 4 16 3 16 9 1 4 0k k k k∆ = − ⋅ + − = ⋅ − > 2 10 4k∴ < < ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,P x y Q x y G x y 2 1 2 2 32 3 4 kx x k + = + 2 1 2 2 64 12 3 4 kx x k −⋅ = + ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 12 1 44 3 4 kx x x x x x k −∴ − = + − = + 1A P G 31 1 32 2 yy x x =+ + 2A Q G 3 2 3 22 2 y y x x =− − ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 2 13 3 1 2 1 2 2 4 22 2 2 4 2 y x k x xx x y x k x x + − ++ = =− − − − ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 3 8 33 8 x x x x x x x x x x x x − + + − −= = −− + + − + 3 1x = G 1x = 2 4 cos 2 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − − = 1 0x y+ + = 3 0x y− + = α C 2 2( 2) ( 1) 9x y− + − = 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = cos sin x y r q r q ì =ïí =ïî C 2 4 cos 2 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − − = l l 1 ( 2)y k x− = + 2 1 0kx y k− + + = 2AB = l 2 2 9 1 2 22 ABd r  = − = − =   2 | 4 | 1 kd k = + 2 | 4 | 2 2 1 k k = + 1k = ± 所以直线 的方程为 或 . 23．(1) 或 (2)3 （1） 或 或 ， 解得 或 . （2） ， ． 当且仅当 时取得最小值 ． l 1 0x y+ + = 3 0x y− + = { | 1x x < − 1}x > ( ) 1 1 1f x x x= − + + + 1 1 2 3 x x ≤ −∴ − > 1 1 3 3 x− < <  > 1 2 1 3 x x ≥  + > { | 1x x < − 1}x > ( ) 3f x c a x x b a x x b c a b c a b c= + − + + ≥ − + + + = + + = + + = ( )1 1 1 1 1 1 1 1 33 3 b a c a c ba b ca b c a b c a b a c b c         + + = + + + + = + + + + + +                 ( )1 3 2 2 2 33 ≥ + + + = 1a b c= = = 3