江苏省南通市2020届高三下学期二模考前综合练习数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 江苏省南通市2020届高三二模考前数学综合练习一含附加题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则_____．‎ ‎【答案】3﹣4i ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再计算得到答案.‎ ‎【详解】∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．‎ 故答案为：3﹣4i．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎2.已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.‎ ‎【答案】{5}‎ ‎【解析】‎ 易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．‎ ‎3.某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据分层抽样的比例关系得到答案.‎ ‎【详解】分层抽样的抽取比例为，∴抽取学生的人数为60030．‎ 故答案为：30．‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.‎ ‎4.角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是_____．‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算sinα，再利用诱导公式计算得到答案.‎ ‎【详解】由题意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图直接计算得到答案.‎ ‎【详解】程序在运行过程中各变量取值如下所示：‎ 是否继续循环 i x 循环前 1 4 ‎ 第一圈 是 4 4+2‎ 第二圈 是 7 4+2+8‎ 第三圈 是 10 4+2+8+14‎ 退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28‎ 故答案为：28．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.‎ ‎6.设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若m∥n，则m∥α；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；‎ ‎④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；‎ 其中正确命题的序号为_____．‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；‎ 对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；‎ 对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；‎ 对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；‎ 综上知，正确命题的序号是④．‎ 故答案为：④．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.‎ ‎7.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ 由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．‎ ‎8.已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_____．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到a（﹣a）≤﹣24，计算等号成立的条件得到答案.‎ ‎【详解】已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0，‎ ‎①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，‎ 故解集为（a，4），‎ 由于a（﹣a）≤﹣24，‎ 当且仅当﹣a，即a＝﹣2时取等号，‎ ‎∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣2；‎ ‎②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件； ‎ ‎③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，‎ ‎∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；‎ 综上所述，a＝﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎9.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得，根据余弦定理得2PF1•PF2cos∠F1PF23，联立方程得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①‎ 又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，‎ ‎∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，‎ ‎△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cos∠F1PF23，②‎ ‎①②联解，得，可得，‎ ‎∴双曲线的，结合，得离心率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ - 24 -‎ ‎10.记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.‎ ‎【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，‎ 最高次项的系数为该项次数的倒数，‎ ‎∴A，A1，解得B，所以A﹣B．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.‎ ‎11.设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是 考点：函数单调性 ‎12.已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到||，||cosα﹣1，解得cosα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.‎ ‎【详解】由（）•（）＝0 可得 （）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角．‎ 再由 2•1+4+2×1×2cos7 可得||，‎ ‎∴||cosα﹣1，解得cosα．‎ ‎∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0，解得 ||，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S - 24 -‎ ‎，利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）‎ 由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x ‎∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，），‎ 因此AB•，‎ 同理可得：AC•‎ ‎∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•‎ 令t，得S.‎ ‎∵t2，∴S△ABC.‎ 当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为.‎ 解之得a＝3或a.‎ ‎∵a时，t2不符合题意，∴a＝3.‎ - 24 -‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎14.设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，根据函数的单调性得到最值.‎ ‎【详解】∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），‎ 又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝tetx，∴过Q的切线斜率k＝t，‎ 设R（r，0），则k，∴r＝t，‎ 即R（t，0），PR＝t﹣（t），‎ 又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面积为S，‎ 导数S′，由S′＝0得t＝1，‎ 当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点，‎ - 24 -‎ ‎∴△PRS的面积的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求边的长.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．‎ ‎【详解】(1)因为角 为钝角， ，所以 ，‎ 又 ，所以 ，‎ 且 ，‎ 所以 ‎ - 24 -‎ ‎ .‎ ‎(2)因为 ，且 ，所以 ，‎ 又 ，‎ 则 ，‎ 所以 .‎ ‎16.如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．‎ ‎（1）求证：VA∥平面BDE；‎ ‎（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结OE，证明VA∥OE得到答案.‎ ‎（2）证明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到证明.‎ ‎【详解】（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，‎ 又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，‎ 所以VA∥平面BDE；‎ ‎（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，‎ 因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，‎ 所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.‎ ‎17.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（）．（3）存在，‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.‎ ‎（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.‎ ‎（3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（1，0），计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，‎ 所以 ，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．‎ 故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．‎ ‎（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，‎ 整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，‎ 由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，‎ 即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．‎ ‎（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，‎ - 24 -‎ l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，‎ 由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，‎ 所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数 使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎18.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．‎ ‎（1）求BC的长度；‎ ‎（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？‎ ‎【答案】（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据得到，解得答案.‎ ‎（2）设BP＝t，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.‎ ‎【详解】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，‎ - 24 -‎ 则，‎ 化简得，解之得，或（舍），‎ ‎（2）设BP＝t，则，‎ ‎，‎ 设，，‎ 令f'（t）＝0，因为，得，‎ 当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；‎ 当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，‎ 所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，‎ 因为恒成立，所以f（t）＜0，‎ 所以tan（α+β）＜0，，‎ 因为y＝tanx在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19.设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）求证：数列{an}为等比数列；‎ ‎（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．‎ ‎【答案】（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.‎ ‎（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.‎ ‎（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.‎ ‎【详解】（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，‎ - 24 -‎ 当n＝2时，，解得a2＝0或，‎ 而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；‎ ‎（2）当p＝2时，①，则②，‎ ‎②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，‎ ‎④﹣③得（n∈N*），‎ 又因为，所以数列{an}是等比数列，且；‎ ‎（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，，，‎ 满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；‎ 必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，‎ 所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1，‎ 显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），‎ 因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，‎ 故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．‎ ‎【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎20.已知函数，，且．‎ ‎（1）当时，求函数的减区间；‎ ‎（2）求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）当时，‎ - 24 -‎ ‎，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，，所以 试题解析：（1）当时，，由得减区间； ‎ ‎（2）法1：，‎ ‎，， ‎ 所以，方程有两个不相等的实数根； ‎ 法2：， ‎ ‎，‎ 是开口向上的二次函数，‎ 所以，方程有两个不相等的实数根； ‎ ‎（3）因为， ‎ ‎， ‎ 又在和增，在减，‎ - 24 -‎ 所以． ‎ 考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系 本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎21.试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．‎ ‎【答案】y＝2sin2x．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算MN，计算得到函数表达式.‎ ‎【详解】∵M，N，∴MN， ‎ ‎∴在矩阵MN变换下，→ ‎ ‎∴曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．‎ ‎【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.‎ ‎[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ ‎22.已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线l被圆截得的弦长．‎ ‎【答案】（1）．x2+y2＝100．（2）16‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.‎ ‎（2）圆心到直线的距离为，故弦长为得到答案.‎ ‎【详解】（1），即，即，‎ 即.‎ ‎，故.‎ ‎（2）圆心到直线的距离为，故弦长为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎23.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．‎ ‎（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；‎ ‎（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.‎ - 24 -‎ ‎（2）设，0≤λ≤1，计算P（0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，‎ 又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，‎ ‎∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD矩形，‎ ‎∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，‎ ‎∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），‎ ‎（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），‎ 设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，‎ 则cosθ，‎ ‎∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．‎ ‎（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），‎ 设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），‎ 解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），‎ ‎（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），‎ 设平面APC的法向量（x，y，z），‎ 则，取x＝1，得（1，﹣1，），‎ 平面ADP的法向量（1，0，0），‎ ‎∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，‎ ‎∴|cos|，‎ 解得，∴P（0，，），‎ - 24 -‎ ‎∴PF的长度|PF|．‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎24.‎ 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.‎ ‎（1）求的分布列及数学期望；‎ ‎（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），ξ的分布列为 ξ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎(1－a)2 ‎ ‎(1－a2) ‎ ‎(2a－a2) ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.‎ P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；‎ P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；‎ P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；‎ P(ξ＝3)＝·a2＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎(1－a)2 ‎ ‎(1－a2) ‎ ‎(2a－a2) ‎ ‎ ‎ ξ的数学期望为 E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.‎ ‎(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；‎ P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；‎ P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.‎ 由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范围是.‎ - 24 -‎ - 24 -‎ - 24 -‎