2012高考数学高分密码与高频考点

2012高考数学高分密码与高频考点

2012 年高考数学高频考点 1、集合与简易逻辑 （1）对集合运算、集合有关术语与符号、在集合问题中逆求参数值问题、集合的简单应用、命题真假的判定、四种 命题间的关系、充要条件的判定等基础知识的考查，多以选择题、填空题形式出现，一般难度不大，属于基础题； （2）以函数与方程、三角函数、不等式、向量、圆锥曲线等知识为内核，以集合语言和符号语言为外在表现形式， 结合简易逻辑知识考查数学思想与方法，多以解答题形式出现，这类题往往具有“稳中求新”、“稳中求活”等特点． 押猜题 1 对于集合 M 、 N ，定义  NxMxxNM  且,| ， )()( MNNMNM   .设  7,6,5,4,3,2,1A ，  10,9,8,7,6,5,4B ，则  BA （ ） A. 7,6,5,4 B. 7,6,5,4,3,2,1 C. 10,9,8,7,6,5,4 D. 10,9,8,3,2,1 解析 由题意，      10,9,8,3,2,1,10,9,8,3,2,1  BAABBA .故选 D. 点评 本题是一道信息迁移题，弄懂 NM  及 NM  的本质含义并掌握集合的基本运算是正确求解的关键. 押猜题 2 已知命题 :P 不等式 0]1)1(lg[ xx 的 解 集 为 }10{  xx ；命题 :Q 在三角形 ABC 中， BA  是 )42(cos)42(cos 22   BA 成立的必要而非充分条件，则（ ） A． P 真Q 假 B． P 且Q 为真 C． P 或Q 为假 D． 假 真 解析 依题意，由 0]1)1(lg[  xx 得 ,0,11)1( 2  xxxx 解得 ,10  x 所以命题 P 正确；在三角形 ABC 中， BABAsinsin )2cos()2cos( BA   ),24(cos)24(cos1)24(cos21)24(cos2 2222 BABA   所以命题 Q是假命题.故选 A. 点评 本题以命题真假的判断为载体，考查解不等式和三角形中的三角变换，值得考生细细品味. 2012 年高考数学高频考点 2、函数 命题动向 函数既是高中数学最重要的基础知识又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重 的地位，其考查的内容是丰富多彩的，考查的方式是灵活多变的，既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题，也有 以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而出现的压轴题．在试卷中往往是以选择题、 填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，以解答题的形式考查函数的综合应用． 押猜题 3 已知 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x R 都有 ),()2( xfxf  若当 ]2,0[x 时， ),1lg()(  xxf 则有（ ） A． )2 7()1()2 3( fff  B． )1()2 7()2 3( fff  C． )2 7()2 3()1( fff  D． )2 3()1()2 7(  fff 解析 )(),()2()22()()2( xfxfxfxfxfxf  的最小正周期为 4.因为 )(xf 是定义在 R 上 的偶函数，则 ),()( xfxf  则 ),2 3()2 3( ff  ),2 1()2 1()2 7( fff  因为当 ]2,0[x 时， )1lg()(  xxf 为增函数， 故 ).2 7()1()2 3( fff  故选 A. 点评 本题集函数的周期性、奇偶性、单调性等于一体考查，是高考命题者惯用的手法，充分体现了高考选择题的 “小、巧、精、活”的特点，是一道难得的好题. 押猜题 4 （理）已知函数 .)1ln()1()( 22 xxxf  （1）求函数 )(xf 的单调区间； （2）若当 ]1,11[  eex 时（其中 71828.2e ），不等式 mxf )( 恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）若关于 x 的方程 axxxf  2)( 在区间 ]2,0[ 上恰好有两个相异的实根，求实数 a 的取值范围. 解析 因为 ,)1ln()1()( 22 xxxf  所以 .1 2)1(2)( xxxf  （1）令 120]1 1)1[(21 2)1(2)(  xxxxxxf 或 0x ，所以 )(xf 的单调增区间为 )1,2(  和 ),0(  ； 令 010]1 1)1[(21 2)1(2)(  xxxxxxf 或 ,2x 所以 )(xf 的单调减区间为 )0,1( 和 ).2,(  （ 2 ）令 001 2)1(20)(  xxxxf 或 ,2x  函数 )(xf 在 ]1,11[  ee 上是连续的，又 ,2)1(,1)0(,21)11( 2 2  eeffeef 所以，当 ]1,11[  eex 时， )(xf 的最大值为 .22 e 故 ]1,11[  eex 时，若使 mxf )( 恒成立，则 .22  em （3）原问题可转化为：方程 2)1ln()1( xxa  在区间 ]2,0[ 上恰好有两个相异的实根. 令 ,)1ln()1()( 2xxxg  则 ,1 21)( xxg  令 ,0)(  xg 解得： ,1x 当 )1,0(x 时， )(,0)( xgxg  在区间 )1,0( 上单调递减， 当 )2,1(x 时， )(,0)( xgxg  在区间 )2,1( 上单调递增. )(xg 在 0x 和 2x 处连续， 又 ,9ln3)2(,4ln2)1(,1)0(  ggg 且 ,19ln34ln2  当 ]2,0[x 时， )(xg 的最大值是 )(,1 xg 的最小值是 .4ln2 在区间 ]2,0[ 上方程 axxxf  2)( 恰好有两个相异的实根时，实数 a 的取值范围是： .9ln34ln2  a 点评 本题考查导数在研究函数性质，不等式恒成立，参数取值范围等方面的应用，充分体现了导数的工具和传接 作用.作为一道代数推理题，往往处在“把关题”或“压轴题”的位置，具有较好的区分和选拔功能. （文）已知函数 )(xfy  与函数 )(1 xfy  互为反函数，且函数 )1(  xfy 与函数 )1(1   xfy 也互为反函数， 若 0)1( f ，则 )2010(1f =（ ） A．0 B．1 C． 2009 D． 2010 解析 求得函数 )1(  xfy 的反函数为 ,1)(1   xfy 又函数 )1(  xfy 与函数 )1(1   xfy 也互为反函数， 所以 )2010(,1)()1( 111   fxfxf .2009201012010)0(2)2008(1)2009( 111   fff  故选 C. 点评 本题是以“年份”为背景的代数推理题，挖掘出 1)()1( 11   xfxf 是解题的关键，是推理的基础，结 合累加法和反函数的有关知识可使问题圆满解决.此题对文科考生而言有相当的难度. 2012 年高考数学高频考点 3、数列 命题动向 数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，它蕴含着高中数学的四大思想及累加（乘）法、错位相减 法、倒序相加法、裂项相消法等基本数学方法；本部分内容在高考中的分值约占全卷的 10％~15％，其中对等差与等比数 列的考查是重中之重． 近年来高考对数列知识的考查大致可分为以下三类： （1）关于两个特殊数列的考查，主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式以及前 n 项和公式等，多以选择 题、填空题形式出现，难度不大，属于中低档题； （2）与其他知识综合考查，偶尔结合递推数列、数学归纳法、函数方程、不等式与导数等知识考查，以最值与参数 问题、恒成立问题、不等式证明等题型出现，一般难度比较大，多为压轴题，并强调分类讨论与整合、转化与化归等数 学思想的灵活运用； （3）数列类创新问题，命题形式灵活，新定义型、类比型和探索型等创新题均有出现，既可能以选择题、填空题形 式出现，也可能以压轴题形式出现． 押猜题 5 已知 baba ,, 为等差数列 abba ,,, 为等比数列，且 ,1)(log0  abm 则 m 的取值范围是（ ） A． 1m B． 8m C． 81  m D． 810  mm 或 解析 依题意得       .0,0 , ,2 2 ba abab baab 解得      .4 ,2 b a 所以 ,8log)(log mm ab  由 18log0  m 得 .8m 故选 B. 点评 本题考查等差数列和等比数列的概念和性质，将简单对数不等式的解法融入其中考查体现了学科内知识的交 汇性. 押猜题 6 （理）已知数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，且 ,41 a ,2 )1(2  nnnaS nn *).,2( Nnn  （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 }{ nb 满足： ,41 b 且 *),(,2)1(2 1 Nnbnbb nnn  求证： *),2( Nnnab nn  ； （3）求证： .)11()11)(11)(11( 3 1544332 ebbbbbbbb nn    解析 （1）当 *,3 Nnn  时， ,2 )1(2  nnnaS nn ,2 )2)(1(2)1( 11   nnanS nn 两式相减得： ,22 1)1( 1   nannaa nnn *).,3(11 Nnnaa nn   .3,122 2221  aaaa 可得，      *).,2(1 ),1(4 Nnnn nan （2）①当 2n 时， ,3142 2 2 12 abb  不等式成立. ②假设当 *),2( Nkkkn  时，不等式成立，即 .1 kbk 那么，当 1 kn 时， ,222)1(2222)1(2)1(2 1  kkkbkbbbkbb kkkkkk 所以当 1 kn 时，不等式也成立. 根据①、②可知，当 *,2 Nnn  时， .nn ab  （3）设 ).,0(,)1ln()(  xxxxf 则 ,0111 1)(   x x xxf 函数 )(xf 在 ),0(  上单调递减， .)1ln(),0()( xxfxf  当 *,2 Nnn  时， ,1 111  nab nn ,2 1 1 1 )2)(1( 11)11ln( 11   nnnnbbbb nnnn 2 1 1 1 4 1 3 1)11ln()11ln()11ln( 14332   nnbbbbbb nn  ,3 1 2 1 3 1  n .)11()11)(11( 3 14332 ebbbbbb nn    点评 本题是数列、数学归纳法、函数、不等式等的大型综合题，衔接自然，叙述流畅，毫无拼凑的痕迹，情景新 颖，具有较好的区分度，入口较宽，要求学生具有一定的审题、读题能力，一定的等价变形能力，同时还要求学生具有 较高的数学素养和数学灵气.该题已达到高考压轴题的水准. （文）已知函数 )(xf 对任意实数 qp, 都满足： ),()()( qfpfqpf  且 .3 1)1( f （1）当 n N*时，求 )(nf 的表达式； （2）设  nnnfan )(( N*), nS 是数列 }{ na 的前 n 项的和，求证： 4 3nS ； （3）设  nnf nnfbn ()( )1( N*),设数列 }{ nb 的前 n 项的和为 nT ，试比较 nTTTT 1111 321   与 6 的大小. 解析 （1） ,3 1)1(),1()()1(  ffnfnf  nnfnf )((3 1)1( N*), )(nf 是以 3 1)1( f 为首项，以 3 1 为公比的等比数列， ,)3 1(3 1)( 1 nnf 即  nnf n ()3 1()( N*). （2） ,)3 1( n n na  ,)3 1()3 1)(1()3 1(3)3 1(23 11 132 nn n nnS   ① ,)3 1()3 1)(1()3 1(3)3 1(2)3 1(13 1 1432  nn n nnS  ② ①－②得： 132 )3 1()3 1()3 1()3 1(3 1 3 2  nn n nS  1)3 1( 3 11 ])3 1(1[3 1     n n n ,)3 1(])3 1(1[2 1 1 nn n .)3 1(2)3 1(4 3 4 3 nn n nS  n N*, .4 3 nS （3） ,3 1 )( )1( nnf nnfbn  ,6 )1( 2 )1( 3 1  nnnnTn ).1 11(61  nnTn ).1 11(6)1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 11(61111 321  nnnTTTT n  n N*, .61111 321  nTTTT  点评 本题是函数与数列的交汇综合题，体现了在知识交汇点处设计试题的高考命题思想.其中第（1）问所用的“赋 值法”，第（2）问所用的“错位相减法”，第（3）问所用的“裂项相消法”等是高考必考的重要方法和技巧. 2012 年高考数学高频考点 4、三角函数 押猜题 7 关于函数 ),42sin()(  xxf 有下列命题： ①其表达式可写成 )42cos()(  xxf ； ②直线 8 x 是函数 )(xf 图象的一条对称轴； ③函数 )(xf 的图象可由函数 xxg 2sin)(  的图象向右平移 4  个单位得到； ④存在 ),0(   ，使得 )3()(   xfxf 恒成立. 其中正确的命题序号是_________.（将你认为正确的命题序号都填上） 解析 对于 ),42sin()(  xxf 有 ,2 2)0( f 而对于 ),42cos()(  xxf 则有 ,2 2)0( f 所以①错误；因为 ,1)8(  f 所以②正确； )42sin()(  xxf )()],8(2sin[ xfx  的图象是由 xxg 2sin)(  的图象向右平移 8  个单位得到的，所以③错误；因为 是函数的最小正 周期，取 ,2   所以④正确.故应填②④. 点评 本题给出多个命题，要求答题者对每个备选命题判断其真伪性，填写满足要求的命题序号.这是近年出现的新 题型，属于选择题中的多选题，排除了“唯一性”中“猜”的成份，多个结论的开放加大了问题的难度，必须对每个备 选命题逐一研究其真伪性，才能探索出正确答案，这类题型考查容量大，多选或少选一个全题皆错. 押猜题 8 在 ABC 中， a 、b 、 c 分别为角 A 、 B 、C 的对边，若 )1,2(sin2 CBm  ， )4,2 72(cos  An ，且 nm// . （1）求角 A 的度数； （2）当 3a ， 2 3ABCS 时，求边长b 和角 B 的大小. 解析 (1) 2 72cos2sin4,// 2  ACBnm ， 02 7)1cos2()]cos(1[2 2  ACB . 01cos4cos4,cos)cos( 2  AAACB ， 即 0)1cos2( 2 A ，就是 2 1cos A .又  1800 A ，  60A . （2） 2 3 2 3 2 1,sin2 1  bcAbcS ABC ，即 2bc .① 在 ABC 中，由余弦定理，得 bccbAbccba  22222 cos2 ,33)( 2  bccb 9)( 2  cb ，即 3 cb .② 由①、②解得      1 2 c b ，或      2 1 c b . 当 2b 时，由正弦定理得  90,1sinsin Bba AB ； 当 1b 时， ABabba AB  ,,2 1sinsin  ，  30B . 综上，  90,2 Bb 或  30,1 Bb . 点评 本题是一道用平面向量“包装”的三角题，考查三角形中的三角函数问题，其中正弦定理、余弦定理、三角 形的面积公式等的参与，给本题增色添彩.本题难易适中，能有效稳定考生的考试情绪，吊起考生的解题胃口. 2011 年高考数学高频考点 5、平面向量 命题动向 平面向量主要包括：平面向量的概念、平面向量的加减运算、平面向量的基本定理及坐标运算、数量积及非零向量 的平行与垂直等．平面向量的加减运算将平面向量与平面几何联系起来；平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基 础，它揭示了平面向量的基本结构；平面向量的坐标运算，将平面向量的运算代数化，实现了数与形的紧密结合．平面 向量来源于实践，又应用于实际，是高中数学中的知识工具，应该给予重视． 本部分内容在高考中的命题热点是：向量加减法的坐标运算；向量加减法的几何表示；实数与向量的数乘的基本运 算；实数与向量积的坐标运算． 押猜题 9 已知 ABC 的外接圆的圆心为O ，且 ,3,4   BA 则 、OBOA 、OCOB OAOC 的大小关系是（ ） A． OAOCOCOBOBOA  B． OBOAOAOCOCOB  C． OAOCOBOAOCOB  D． OCOBOAOCOBOA  解析 设 ABC 的外接圆的半径为 R， 则 ,2cos,2cos 22 AROCOBCROBOA  .2cos2 BROAOC  由已知得 ,2  CBA 所以 ,sinsinsin0 CBA  所以 ,sin21sin21sin21 222 CBA  即 ,2cos2cos2cos CBA  所以 .OBOAOAOCOCOB  故选 D. 点评 涉及三角形中的向量的数量积问题，常常可以考虑利用向量的数量积的定义、正弦定理、余弦定理来解决. 押猜题 10 已知向量 cba ),0,1(),1,1(  满足 0ca 且 .0,  cbca 若映射 ,),(),(: cyaxyxyxf  则在映射 f 下， 向量 )sin,(cos  （其中 )R 的原象的模为________. 解析 设 ),,( nmc  则 由 题 意 ， 得       .0 ,2 ,0 22 m nm nm 解得 ).1,1(,1 ,1       cn m ),1,1()1,1()sin,(cos  yx              ).sin(cos2 1 ),cos(sin2 1 .sin ,cos     y x yx yx .2 2])sin(cos)cos[(sin4 1 2222  yx 故应填 .2 2 点评 本题考查平面向量的坐标运算和三角变换的基本技能，其中映射的参与使本题显得新颖别致，韵味十足. 2012 年高考数学高频考点 6、不等式 命题动向 不等式是解决初等数学问题的重要工具，它既可以解决函数、方程等方面的问题，又经常同函数、方程相结合来解 决代数、几何及各实际应用领域中的问题．在高考注重改革和创新的今天，对不等式应用的考查所占比重越来越大，在 高考卷中，不等式应用越来越普遍地渗透到考题之中，既可以通过小题考查不等式基础知识和基本公式的应用，也可以 在大题、压轴题中考查学生的逻辑思维和综合解决问题的能力． 押猜题 11 设 ,0,0  ba 以下不等式：① bbaa  ；② ba abab  2 ；③ 222 34 babba  ；④ 224  abab 中恒 成立的是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析 对于①，由 0,0  ba 得 ,,0 babababa  即 ;abba  对于②，由 0,0  ba 得 ba ababba abab  2,20 恒成立； 对于③， ,0)2()34( 2222  bababba 因此 222 34 babba  ； 对于④，由 得 ,0ab ,224424  abababab 即 224  abab 恒成立. 因此，不等式②④恒成立.故选 D. 点评 本题考查不等式的性质和不等式证明的基本方法，是一道中规中矩，注重通性通法的基础题. 2012 年高考数学高频考点 7、直线和圆的方程 命题动向 直线在高考中的考查热点之一是与直线有关的基本概念（如直线的倾斜角、斜率、截距、夹角、到角、两直线平行 与垂直的条件等）与基本公式（如过两点的斜率公式、两点间的距离公式等），二是求不同条件下的直线方程． 近几年高考对圆的考查有以下几种形式： 考查位置关系，重点是直线与圆的位置关系；考查求解圆的方程；利用圆的参数方程求最值或范围问题．在以解析 几何问题为主的大题中圆与直线及圆锥曲线的综合问题也占有一定的比重． 这类试题所考查的数学思想与方法有：分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想及换元法、 待定系数法等． 线性规划的考查特点：一是以选择题、填空题形式将直线方程、不等式、最值等内容融为一体，考查线性规划的基 础知识与基本应用；二是将线性规划与实际生活或其他知识结合而命制试题，考查考生的综合素质. 押猜题 12 若直线 1 kxy 与圆 0422  mykxyx 交于 M、N 两点，且 M、N 关于直线 0 yx 对称，动点 ),( baP 在 不等式组       0 0 02 y mykx ykx 所表示的平面区域的内部及边界上运动，则 1 2   a b 的取值范围是（ ） A． ),2[]2,(   B． ),2()2,(   C． ]2,2[ D． )2,2( 解析 由题意可知直线 1 kxy 与直线 0 yx 垂直，所以 1k ， 由题意知圆心       .0 ,0 ,02 y yx yx )2,2( mkC  在直线 0yx 上 ， 可 求 得 1m . 则 不 等 式 组 即 为 其所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 1 2   a b 的几何意义是点 )2,1(Q 与平 面区域上 的 点 ),( baP 的连线的斜率.而 ,2OQk ,2AQk 所以 的取值范围为： ).,2[]2,(   故选 A. 点评 本题考查了直线与圆的位置关系，两直线垂直时其斜率关系的应用，线性规划的运用.运用“等价转化”的数 学思想，将位置关系转化为求斜率范围的问题. 2011 年高考数学高频考点 11、概率与统计（文理科） 高频考点 11 概率与统计（仅限理科） 命题动向 从近年高考来看，数学试卷中有关“概率与统计”的试题有如下特点： 1．重点突出．事件的概率着眼于随机现象的局部问题，而随机变量的概率分布、期望与方差则着眼于随机现象的整 体和全局问题．今年高考试卷的考查重点仍然是随机变量的分布列、期望与方差，并且大多安排在解答题的位置上． 2．情境新颖．设计新颖的试题情境，既体现了数学试题源于生活、趣味性强、时代气息浓厚、人文特点鲜明的特点， 又可以给考生创造一个公平、公正的竞争环境，给更优秀的学生提供一个展示自我的平台，这些题目都源于生活，对考 生具有亲和力． 3．注重整合．“概率与统计”是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点．如何将它们与 传统的数学知识进行整合，预计今年的高考试题会在这方面做一些有益的尝试． 4．重视教材．概率统计试题通常是通过改编课本原题，对其中的基础知识重新组合、变式和拓展，从而加工为一道 立意高、情境新、设问巧、有较强的时代气息、贴近学生实际的试题． 5．特别要注意的是高考多以“正态分布”相关内容为题材设计试题．正态分布的命题一般以选择题、填空题的形式 出现，考查的知识有两种基本类型：①利用给出的标准正态分布表或题设条件中的概率，求 在某个范围内取值时的概 率；②利用正态分布密度曲线，根据密度曲线的性质，求 在某个范围内取值时的概率． 押猜题 20 袋子 A 和 B 中分别装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，从 A 中摸出一个球，得到红球的概率是 3 1 ，从 B 中 摸出一个球，得到红球的概率为 p . （1）若 A 、 B 两个袋子中的球数之比为 1：3，将 中的球混装在一起后，从中摸出一个球，得到红球的概率是 4 3 ， 求 p 的值； （2）从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计 3 次摸到红球即停止，最多摸球 5 次，5 次之内（含 5 次）不论 是否有 3 次摸到红球都停止摸球，记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为随机变量 ，求随机变量 的分布列及数学 期望. 解析 （1） A、B 两个袋子中的球数之比为 1：3，∴设袋子 A 中有 m 个球，则袋子 B 中有 m3 个球.由于从 A 中摸 出一个红球的概率是 3 1 ，从 B 中摸出一个红球的概率为 p ，∴袋子 A 中有 m3 1 个红球，袋子 B 中有 mp3 个红球. A、 B 中的球混装在一起后，共有红球 mpm 33 1  个，∴ 9 8,4 3 4 33 1   pm mpm 解得 . （2）随机变量 的取值为 0，1，2，3. 则 243 32)3 11()0( 50 5  CP  ； 243 80)3 11(3 1)1( 41 5  CP  ； 243 80)3 11()3 1()2( 322 5  CP  ； 81 17 3 1)3 11()3 1(3 1)3 11()3 1()3 11()3 1()3( 222 4 22 3 033 3  CCCP  . 随机变量 的分布列是： 0 1 2 3 P 243 32 243 80 243 80 81 17 的数学期望 81 131381 172243 801243 800243 32 E . 点评 本题考查概率、期望的相关知识，处理这类题目时要注意三点：①分析要准确，找出随机变量可能的取值， 不能多也不能少；②公式记忆要准确；③计算要准确. 高频考点 11  统计（侧重文科） 命题动向 从近年高考来看，数学试卷中有关“统计”的试题有如下特点： 1．情境新颖．设计新颖的试题情境，既体现了数学试题源于生活、趣味性强、时代气息浓厚、人文特点鲜明的特点， 又可以给考生创造一个公平、公正的竞争环境，给更优秀的学生提供一个展示自我的平台，这些题目都源于生活，对考 生具有亲和力． 2．注重整合．“统计”是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点．如何将它们与传统的 数学知识进行整合，预计今年的高考试题会在这方面做一些有益的尝试． 3．重视教材．统计试题通常是通过改编课本原题，对其中的基础知识重新组合、变式和拓展，从而加工为一道立意 高、情境新、设问巧、有较强的时代气息、贴近学生实际的试题． 4．特别要注意的是以“抽样方法”相关内容为题材设计试题，已成为部分省命题的载体. 押猜题 21 经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢” 态度的多 12 人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的有 5 位“喜欢”摄影的同学、1 位“不喜欢” 摄影的同学和 3 位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多________人. 解析 设班里学生对摄影“喜欢”的有 y 人，“一般”的有 x 人，“不喜欢”的有 )12( x 人，则 ,3 112  x x ,18x 又 ,3 5 18 y .30y 全班共有学生 5461830  (人)，又 32 5430  (人). “喜欢”摄影的人数比全班人数的一半还多 3 人.故应填 3. 点评 本题考查分层抽样中的有关计算，抓住“抽样比”是关键.此类问题是高考文科数学经常涉及的考点，不容忽 视. 2012 年高考数学高频考点 12、极限 命题动向 数学归纳法是中学数学的基本方法，也是历届高考的常考点，其命题形式比较灵活，若以选择题、填空题形式出现， 主要考查的是数学归纳法的实质以及求证要点；若以解答题形式出现，常与数列、不等式、函数等综合考查，可用“观 察——归纳——猜想——证明”的思维模式解答，属于中高档题，甚至可能以压轴题的形式考查． 极限包括数列极限和函数极限两类，是近年高考的常考点，多考查“极限的求法”、“已知极限值，逆求参数值或范 围”、“函数连续性问题（函数极限）”、“函数连续性与数列极限结合问题”等，可能以选择题、填空题的形式出现，偶尔 以解答题某一小问的形式出现，一般属于中低档题． 押猜题 21 已知i 是虚数单位，且函数      xa iixf cos2 )1()( 2 )0( )0(   x x 在 R 上连续，则实数 a 等于________. 解析 若 函 数      xa iixf cos2 )1()( 2 在 R 上 连 续 ， 则 函 数 在 0x 处 的 左 极 限 等 于 右 极 限 . 因为 ,22)1( 22  iii 所以应有 ,2)cos2(lim 0   xa x 即 ,20cos2 a 所以 .4a 故应填 4. 点评 本题在复数代数运算的基础上，根据连续函数的定义和左右极限相等即可得到关于 a 的方程，问题便迎刃而 解. 2012 年高考数学高频考点 13、导数 命题动向 在近几年的高考试卷中有关导数应用的试题所占的比重都很大，且大多以解答题的形式出现．导数是高考命题的一 个重要载体，通过导数可以实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的综合考查．求解导数应用方面的试题渗 透着各种重要的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、等价转化等思想，所以导数的应用是高考的一个热点，在复习 中应引起足够重视. 押猜题 22 （理）已知函数  axaxxaxf (ln)( 22 R). （1）我们称使 )(xf 0 成立的 x 为函数的零点.证明：当 1a 时，函数 )(xf 只有一个零点； （2）若函数 )(xf 在区间 ),1(  上是减函数，求实数 a 的取值范围. 解析 （1）当 1a 时， xxxxf ln)( 2  ，其定义域为（0，+∞）， x xx xxxf 12112)( 2  ， 令  )(xf 0，解得 2 1x 或 ,1x 又 0x ，故 1x .当 10  x 时， 0)(  xf ；当 1x 时, 0)(  xf .所以函数 )(xf 在区间 )1,0( 上单调递增，在区间 ),1(  上单调递减，当 1x 时，函数 )(xf 取得最大值，即 ,0)1()( max  fxf 故 函数 只有一个零点. （ 2 ） 因 为 axxaxxf  22ln)( ， 其 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ， 所 以  axaxxf 221)( x axax x axxa )1)(12(12 22  . ①当 0a 时， 01)(  xxf ，∴ 在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意. ②当 0a 时， )0(0)(  xxf 等价于 axxaxax 1),0(0)1)(12(  即 ，此时 的单调减区间为（ a 1 ，+∞）. 依题意，得      .0 ,11 a a 解之得 .1a ③当 0a 时， 等价于 ),0(0)1)(12(  xaxax 即 ,2 1 ax  此时 的单调减区间为 ).,2 1(  a 依题意得      .0 ,12 1 a a 解之得 .2 1a 综上所述，实数 a 的取值范围是 ).,1[]2 1,(   点评 本题是函数的综合题，考查了函数及其性质、导数及其应用、不等式等基础知识.导数是研究函数性质的有力 工具，在探讨极值、单调性、不等式等有关问题时，要充分发挥导数的工具作用.第（2）问将问题转化为二次不等式问题， 涉及到对参数 a 分类讨论，此类试题的解法一定要熟练掌握. （文）已知函数 dcxbxxxf  23)( 有两个极值点 ,2,1 21  xx 且直线 16  xy 与曲线 )(xfy  相切于 P 点. （1）求b 和c ； （2）求函数 )(xfy  的解析式； （3）当 d 为整数时，求过 P 点和曲线 )(xfy  相切于一异于 P 点的直线方程. 解析 （1）设直线 16  xy 与曲线 dcxbxxy  23 相切于点 ),( 00 yxP . dcxbxxxf  23)( 有两个极值点 ,2,1 21  xx 于是 .693)2)(1(323)( 22  xxxxcbxxxf 从而 .6,2 9  cb （2）由（1）可知 ,62 9)( 23 dxxxxf  注意到 ),( 00 yxP 为切点， 则          .6693 ,62 9 ,16 0 2 0 0 2 0 3 00 00 xx dxxxy xy ③ ② ① 由③求得 00 x 或 ,30 x 由①②联立知 .2 91 3 0 2 0 xxd  当 00 x 时， 1d ；当 30 x 时， .2 29d 162 9)( 23  xxxxf 或 .2 2962 9)( 23  xxxxf （3）由（2）知当 d 为整数时， 1d 符合条件，此时 P 点坐标为 ),1,0( 设过 )1,0(P 的直线 1: kxyl 和 162 9 23  xxxy 相切于另一点 ),,( 11 yx 则          .693 ,162 9 ,1 1 2 1 1 2 1 3 11 11 xxk xxxy kxy ⑥ ⑤ ④ 由④⑤及 01 x 可知： ,xxxkx 1 2 1 3 11 62 9  即 .62 9 1 2 1  xxk 再联立⑥可知 ,69362 9 1 2 11 2 1  xxxxk 又 ,01 x ,4 9 1 x 此时 .16 15k 故所求切线方程为： .116 15  xy 点评 本题主要考查导数的工具性和传接性.第（1）问抓住两个极值点是方程 0)(  xf 的两个根即可；第（2）问 注意区分“过某点的切线”和“在某点处的切线”是正确求解的前提；第（3）问注意新增的限制条件再按第（2）问的 思路推理即可.此题符合考试大纲导数部分对文科考生的要求.