专题15 三角函数的图象和性质-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题15 三角函数的图象和性质-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性 ‎2．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 三角函数的定义域及简单的三角不等式 例1、 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)不等式＋2cosx≥0的解集是________。‎ ‎(3)函数f(x)＝＋log2(2sinx－1)的定义域是________。‎ ‎【答案】（1）D （2） （3）∪∪ ‎【解析】(1)由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，‎ 即x≠＋(k∈Z)，故选D。‎ ‎(2)由＋2cosx≥0，得cosx≥－，‎ 由余弦函数的图象，得 在一个周期[－π，π]上，不等式 cosx≥－的解集为，‎ 故原不等式的解集为 。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1．三角函数定义域的求法 ‎(1)应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域。‎ ‎(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。‎ ‎2．简单三角不等式的解法 ‎(1)利用三角函数线求解。‎ ‎(2)利用三角函数的图象求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 函数y＝的定义域为________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0。‎ 利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示。‎ 在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，‎ 再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为 。‎ 热点题型二 三角函数的值域与最值 例2、 (1)函数y＝－2sinx－1，x∈的值域是(　　)‎ A．[－3，1]　　　　　　B．[－2，1]‎ C．(－3，1] D．(－2，1]‎ ‎(2)函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为(　　)‎ A．3，－1 B．3，－2‎ C．2，－1 D．2，－2‎ ‎【答案】（1）D（2）D ‎【提分秘籍】 三角函数最值或值域的三种求法 ‎(1)直接法：利用sinx，cosx的值域。‎ ‎(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域。‎ ‎(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题。‎ ‎【举一反三】 ‎ 函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)‎ A．2－　　　　　　　　　B．0‎ C．－1 D．－1－ 解析：利用三角函数的性质先求出函数的最值。‎ 因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，‎ 所以sin∈。‎ 所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－。‎ 答案：A 热点题型三 三角函数的性质 例3． (1)函数y＝2cos2－1是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎(2)若f(x)＝2sinωx＋1(ω＞0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________。‎ ‎【答案】（1）A （2） ‎【提分秘籍】‎ ‎ 1．奇偶性与周期性的判断方法 ‎(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y＝Asinωx和y＝Acosωx分别为奇函数和偶函数。‎ ‎(2)周期性：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解。‎ ‎2．求三角函数单调区间的两种方法 ‎(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解。‎ ‎(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间。‎ 提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域。‎ ‎3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 ‎(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解。‎ ‎(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解。‎ ‎(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)‎ A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)是偶函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间上是增函数 解析：f(x)＝sin＝－cos2x，故其最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确，故选C。‎ 答案：C ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎1.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.‎ ‎3.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎5.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．‎ ‎6.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B）π （C） （D）2π ‎【答案】B ‎【解析】,故最小正周期,故选B.‎ ‎【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ ‎（A）向左平移个单位   （B）向右平移个单位 ‎（C）向左平移个单位    （D）向右平移个单位 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ，所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B.‎ ‎【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令 ‎，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.‎ ‎（2014·辽宁卷）将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．‎ ‎（2014·全国卷）设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>c>a ‎ C．c>b>a D．c>a>b ‎【答案】C　‎ ‎【解析】因为b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b＞a.因为cos 35°<1，所以>1，所以>sin 35°.又c＝tan 35°＝>sin 35°，所以c>b，所以c>b>a.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)‎ 图11‎ ‎ A　 　　　 　　　　　B ‎　C　 　　　　　　　　D ‎【答案】C　‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．‎ ‎【答案】1　‎ ‎【解析】函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.‎ ‎（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ ‎【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….‎ 因为－≤φ＜，‎ 所以φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，‎ 所以sin＝.‎ 由＜α＜得0＜α－＜，‎ 所以cos＝＝＝.‎ 因此cos ‎＝sin α ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＋× ‎＝.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎ 1.在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为　(　　)‎ A.∪ B.‎ C. D.∪[]‎ ‎【解析】选B.画出y=sinx，y=cosx在(0，2π)内的图象，它们的交点横坐标为，由图象可知x的取值范围为.‎ ‎2.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是　(　　)‎ A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos ‎【解析】选A.由于函数周期为π，所以排除C，D;‎ 对于A，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z.‎ 得其单调减区间为(k∈Z).‎ 显然(k∈Z).‎ ‎3.函数f(x)=sin在区间上的最小值是　(　　)‎ A.-1 B.- C. D.0‎ ‎【解析】选B.因为x∈，‎ 所以2x-∈，‎ 根据正弦曲线可知，当2x-=-时，f(x)取得最小值-.‎ ‎4.已知函数f(x)=sin(x-φ)，且f(x)dx=0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是　(　　)‎ A.x= B.x=‎ C.x= D.x=‎ ‎5. y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y=2交点的个数是　(　　)‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎【解析】选B.作出y=1+sinx在[0，2π]上的图象，可知只有一个交点.‎ ‎6.下列函数中，周期为1的奇函数是　(　　)‎ A.y=1-2sin2πx B.y=sin C.y=tanx D.y=sinπxcosπx ‎7.已知函数y=2cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b-a的值是　(　　)‎ A.2 B‎.3 ‎ C.+2 D.2-‎ ‎【解析】选B.因为当≤x≤π时，y=2cosx是单调减函数，‎ 且当x=时，y=2cos=1，‎ 当x=π时，y=2cosπ=-2，‎ 所以-2≤y≤1，‎ 即y的值域是[-2，1]，‎ 所以b-a=1-(-2)=3.‎ ‎8.已知函数f(x)=2sin，x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为　(　　)‎ A. B. C.π D.2π ‎【解析】选C.由f(x)=1，‎ 得sin=，‎ 所以ωx1+=，‎ 或ωx2+=，‎ 所以ω(x2-x1)=.‎ 又因为x2-x1=，故ω=2，‎ 所以T==π.‎ ‎9.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是　(　　)‎ A. B. C.[1，2] D.[0，2]‎ ‎【解析】选A.由-+2kπ≤ωx-≤+2kπ，k∈Z 得-+≤x≤+，k∈Z，‎ 取k=0，得-≤x≤，‎ 因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，‎ 所以≥，即ω≤.‎ 又ω>0，所以ω的取值范围是.‎ ‎10.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为　　　　.‎ ‎【解析】y=sin2x+cos2x ‎=sin2x+cos2x+‎ ‎=sin+，‎ 所以T==π.‎ ‎【答案】π ‎11.设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　　　　.‎ ‎【解析】设f(x)=sinx+cosx=2sin，‎ 因为x∈[0，2π]，所以x+∈，‎ 根据方程恰有三个解，结合三角函数图象易得x1=0，x2=，x3=2π，‎ 所以x1+x2+x3=.‎ ‎【答案】‎ ‎12.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在同一周期内当x=时取最大值，当x=时取最小值，与y轴的交点为(0，)，则f(x)的解析式为　　　　　　.‎ ‎【答案】f(x)=2sin ‎13.已知函数y=cos.‎ ‎(1)求函数的最小正周期.‎ ‎(2)求函数的对称轴及对称中心.‎ ‎(3)求函数的单调增区间.‎ ‎【解析】(1)由题可知ω=，T==8π，‎ 所以函数的最小正周期为8π.‎ ‎ (2)由x+=kπ(k∈Z)，得x=4kπ-(k∈Z)，‎ 所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z);‎ 又由x+=kπ+(k∈Z)，‎ 得x=4kπ+(k∈Z);‎ 所以函数的对称中心为(k∈Z).‎ ‎(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z)，‎ 得8kπ+≤x≤+8kπ(k∈Z);‎ 所以函数的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎14.已知函数f(x)=2sin.‎ ‎(1)求函数的最大值及相应的x值集合.‎ ‎(2)求函数的单调区间.‎ ‎(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.‎ ‎【解析】(1)当sin=1时，2x-=2kπ+，k∈Z，‎ 即x=kπ+，k∈Z，此时函数取得最大值为2;‎ 故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为.‎ ‎(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z 得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为 ‎，k∈Z.‎ 由+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z 得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z.‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.‎ ‎ ‎ ‎ ‎