安徽省芜湖一中2020届高三上学期8月开学数学试题

安徽省芜湖一中2020届高三上学期8月开学数学试题

‎2019-2020学年安徽省芜湖一中高三（上）开学数学试卷（8月份）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．设全集，2，3，4，，集合，，，3，，则　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎2．（5分）复数的虚部是　　‎ A． B．‎1 ‎C． D．‎ ‎3．（5分）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于　　‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎4．（5分）直线和直线平行，则　　‎ A．或 B． C．7或1 D．‎ ‎5．（5分）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象　　‎ A．关于点，对称 B．关于直线对称 ‎ C．关于点，对称 D．关于直线对称 ‎6．（5分）已知点在以，为焦点的椭圆上，若，，则该椭圆的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）若、，，且，则下面结论正确的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）的三个内角、、所对的边分别为，，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为　　‎ A． B．‎13 ‎C．6 D．‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标系中，、，点，满足，则的最小值为　　‎ A．4 B．‎3 ‎C． D．‎ ‎11．（5分）若，，则　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数，若，，互不相等，且（a）（b）（c），则的取值范围为　　‎ A． B．， ‎ C．， D．，‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知正数、满足，则的最小值为　　．‎ ‎14．（5分）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于　 　．‎ ‎15．（5分）已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为　　．‎ ‎16．（5分）抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长为3，则点的纵坐标的最小值为　　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知 ‎（1）求的最小正周期和单调递增区间 ‎（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围． ‎ ‎18．（12分）已知数列的前项和为正整数）．‎ ‎（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，，求． ‎ ‎19．（12分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦的最大值．‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（已知高一年级共有1200名学生）‎ ‎（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；‎ ‎（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．‎ 基础年级 高三 合计 优秀 非优秀 合计 ‎300‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：‎ ‎ ‎ ‎21．（12分）已知椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当△的面积为时，求直线的方程． ‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数在，上的值域；‎ ‎（2）若，，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2019-2020学年安徽省芜湖一中高三（上）开学数学试卷（8月份）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设全集，2，3，4，，集合，，，3，，则　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【解答】解：，3，，，3，，则，3，，3，，．‎ 故选：．‎ ‎2．（5分）复数的虚部是　　‎ A． B．‎1 ‎C． D．‎ ‎【解答】解：，‎ 复数的虚部是．‎ 故选：．‎ ‎3．（5分）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于　　‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，‎ 由，，得：‎ 解得：，．‎ 故选：．‎ ‎4．（5分）直线和直线平行，则　　‎ A．或 B． C．7或1 D．‎ ‎【解答】解：直线和直线平行，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故选：．‎ ‎5．（5分）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象　　‎ A．关于点，对称 B．关于直线对称 ‎ C．关于点，对称 D．关于直线对称 ‎【解答】解：，，‎ ‎；‎ ‎，‎ 其对称中心为：，，，‎ 故，不符合；‎ 其对称轴方程由得：‎ ‎，，‎ 当时，就是它的一条对称轴，‎ 故选：．‎ ‎6．（5分）已知点在以，为焦点的椭圆上，若，，则该椭圆的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由，可知△为直角三角形，‎ 又，可得，‎ 联立，解得：，．‎ 由，得，即．‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎7．（5分）若、，，且，则下面结论正确的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：是偶函数且在上递增，‎ ‎，‎ ‎，皆为非负数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎8．（5分）的三个内角、、所对的边分别为，，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：中，，‎ 根据正弦定理，得，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎，得，可得．‎ 故选：．‎ ‎9．（5分）已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为　　‎ A． B．‎13 ‎C．6 D．‎ ‎【解答】解：，且，‎ ‎．‎ 向量与的夹角为，且，，‎ ‎．‎ 解得：．‎ 故选：．‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标系中，、，点，满足，则的最小值为　　‎ A．4 B．‎3 ‎C． D．‎ ‎【解答】解：、，点且；‎ 由，得，‎ 化简得，‎ 则，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值为．‎ 故选：．‎ ‎11．（5分）若，，则　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：，，‎ 函数在上为增函数，故，故错误；‎ 函数在上为减函数，故，故，即；故错误；‎ ‎，且，，即，即．故错误；‎ ‎，故，即，即，故正确；‎ 故选：．‎ ‎12．（5分）已知函数，若，，互不相等，且（a）（b）（c），则的取值范围为　　‎ A． B．， ‎ C．， D．，‎ ‎【解答】解：函数，若，，互不相等，且（a）（b）（c），如图，不妨，‎ 由已知条件可知：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 令（b），，‎ 由，故为减区间，‎ ‎，‎ 的取值范围是：．‎ 故选：．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知正数、满足，则的最小值为　　．‎ ‎【解答】解：根据约束条件画出可行域 化成 直线过点时，最小值是，‎ 的最小值是，‎ 故答案为．‎ ‎14．（5分）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于　　．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ 时，，，‎ 曲线在点处的切线方程为，即．‎ 令，可得，令，可得，‎ 三角形的面积等于．‎ 故答案为：．‎ ‎15．（5分）已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为　　．‎ ‎【解答】解：设三棱锥的棱长为，则底面外接圆的半径为 ‎，‎ 三棱锥的高为，‎ 正三棱锥的4个顶点都在同一球面上，如图所示；‎ 且球的半径为，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得或，‎ 三棱锥的棱长为，‎ 则该三棱锥的表面积为 ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（5分）抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长为3，则点的纵坐标的最小值为　　．‎ ‎【解答】解：设直线的方程为，联立，化为，‎ 由题意可得△．‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎，‎ 中点的纵坐标:‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知 ‎（1）求的最小正周期和单调递增区间 ‎（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围 ‎【解答】解：（1）由题意可知：‎ ‎，‎ 的最小正周期为，由，得，，‎ 单调增区间为，，；‎ ‎（2），，，‎ 的取值范围是，，‎ 的取值范围是，，‎ ‎，．‎ ‎18．（12分）已知数列的前项和为正整数）．‎ ‎（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，，求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在中，令，可得，‎ 即（1分）‎ 当时，‎ ‎（2分）‎ ‎，即 ‎，，即当时，‎ 又，数列是首项和公差均为1的等差数列（4分）‎ 于是，（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得（7分）‎ ‎①‎ ‎②‎ 由①②得（9分）‎ ‎（12分）‎ ‎19．（12分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦的最大值．‎ ‎【解答】解：证明：由题意，，，‎ 是二面角的平面角；‎ 又二面角是直二面角，‎ ‎，‎ 又，平面，‎ 又平面，平面平面；‎ 由知，平面，‎ 是与平面所成的角；‎ 在中，，‎ ‎；‎ 当最小时，最大，‎ 此时，垂足为，‎ 由三角形的面积相等，得 ‎，‎ 解得，‎ 与平面所成角的正弦的最大值为．‎ ‎20．（12分）为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（已知高一年级共有1200名学生）‎ ‎（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；‎ ‎（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．‎ 基础年级 高三 合计 优秀 非优秀 合计 ‎300‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：‎ ‎【解答】解：（1）该校学生每周平均体育运动时间为 ‎；（3分）‎ 样本中高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为：‎ ‎（人；‎ 又样本中高一的人数有120人，‎ 所以高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为 ‎（人；（6分）‎ ‎（2）由题意填写列联表如下：‎ 基础年级 高三 合计 优秀 ‎105‎ ‎30‎ ‎135‎ 非优秀 ‎105‎ ‎60‎ ‎165‎ 合计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ ‎（8分）‎ 假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，‎ 则，‎ 又，‎ 所以有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”． （12分）‎ ‎21．（12分）已知椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当△的面积为时，求直线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆过点，离心率为，‎ 可得解得所以 ‎（2）斜率不存在时，不满足．‎ 斜率存在设为，‎ 过的直线方程为：，‎ 即，‎ 联立直线方程与椭圆方程，即，消去得，‎ ‎△恒成立，‎ 由韦达定理可得，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以直线的方程．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数在，上的值域；‎ ‎（2）若，，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由，得，‎ 在，上恒成立，则在，单调递减，则，‎ 时，，‎ 在，上的值域为，；‎ ‎（2）令，‎ 则，‎ ‎①若，则由（1）可知，，在，上单调递增，‎ ‎（e），与题设矛盾，不符合要求；‎ ‎②若，则由（1）可知，，在，上单调递减，‎ ‎（1），符合要求；‎ ‎③若，则，使得，‎ 且在上单调递增，在，上单调递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 由题：，即，得，‎ 即，得．‎ ‎，且由（1）可知在上单调递减，‎ ‎．‎ 综上，．‎