数学文卷·2017届江西省宜春市第三中学高三下学期期中考试（2017

数学文卷·2017届江西省宜春市第三中学高三下学期期中考试（2017

江西省宜春三中2016-2017学年度高三下学期期中考试数学（文）试卷 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3.若=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设是实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎6.已知函数y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=1gx﹣x+1，则函数）y=f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）‎ A．10cm3 B．20cm3　 C．30cm3 D．40cm3‎ ‎8.给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．I≤100 B．I＞100 C．I＞50 D．I≤50‎ ‎9.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且＜1，若a3+a5=20，a3a5=64，则S4=（　　）‎ A．63或126 B．252 C．120 D．63‎ ‎10.已知点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则•的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎12.已知函数f（x）=x2﹣2x+2，g（x）=ax2+bx+c，若这两个函数的图象关于（2，0）对称，则f（c）=（　　）‎ A．122 B．5 C．26 D．121‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足 =2，则•=　　．‎ ‎14.已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=　　．‎ ‎15.若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为　　．‎ ‎16.若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：‎ ‎①y=是“依赖函数”；‎ ‎②y=是“依赖函数”；‎ ‎③y=2x是“依赖函数”；④y=lnx是“依赖函数”；‎ ‎⑤y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f（x）．g（x）是“依赖函数”．‎ 其中所有真命题的序号是　　．‎ 三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA=bsinB+（c﹣b）sinC．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若b=2，S△ABC=，求sin（2B﹣A）的值．‎ ‎18.某校对高一年级学生暑假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：‎ 分组 频数 频率 ‎[10，15）‎ ‎10‎ ‎0.25‎ ‎[15，20）‎ ‎25‎ n ‎[20，25）‎ m p ‎[25，30）‎ ‎2‎ ‎0.05‎ 合计 M N ‎（1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并估计该校高一学生参加社区服务超过20次的概率；‎ ‎（2）试估计该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数．‎ ‎19.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，截面A1BC是等边三角形．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB=AC；‎ ‎（Ⅱ）若AB⊥AC，三棱柱的高为1，求C1点到截面A1BC的距离．‎ ‎20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为2．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线y=x+m与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．‎ ‎21.（12分）已知函数，g（x）=ax+b．‎ ‎（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数g（x）=ax+b是函数图象的切线，求a+b的最小值．‎ ‎22.【选修4-4】在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 ，已知过点的直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点。‎ ‎（1）写出曲线和直线的普通方程；‎ ‎（2）若成等比数列,求的值．‎ ‎23.【选修4-5】设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B D C A A B A C D A B ‎13.6‎ ‎14.8‎ ‎15. （﹣1，3]∪{1﹣2}‎ ‎16. ②③‎ ‎17.解：（1）由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，‎ 由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，‎ 故cosA==，A=60°．‎ ‎（2）∵b=2，S△ABC==bcsinA=，解得：c=3．‎ ‎∴a===，‎ ‎∴cosB===，可得：sinB==，‎ ‎∴sin2B=2sinBcosB=2××=，cos2B=2cos2B﹣1=，‎ ‎∴sin（2B﹣A）=sin2BcosA﹣cos2BsinA=×﹣×=．‎ ‎18.解：∵[10，15）组的频数为10，频率为0.25，‎ ‎∴，解得M=40．‎ ‎∴n=，‎ p=1﹣0.25﹣0.625﹣0.05=0.075，‎ ‎∴a==0.125．‎ ‎∴该校高一学生参加社区服务超过20次的概率为：0.075+0.05=0.125．‎ ‎（2）∵次数位于[15，20）的频率为0.625，‎ ‎∴中位数位于区间[15，20），设中位数为15+x，‎ 则0.125x=0.25，解得x=2，‎ ‎∴该校高一学生暑假参加社区服务次数的中位数为17次．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA1．‎ 因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，BC⊥AA1，‎ 因为截面A1BC是等边三角形，所以BC⊥OA1，‎ 所以BC⊥平面A1OA，BC⊥OA，因此，AB=AC．…‎ ‎（Ⅱ）解：设点A到截面A1BC的距离为d，‎ 由VA﹣A1BC=VA1﹣ABC得S△A1BC×d=S△ABC×1，‎ 得BC×OA1×d=BC×OA×1，得d=．‎ 由AB⊥AC，AB=AC得OA=BC，‎ 又OA1=BC，故d=．‎ 因为点A与点C1到截面A1BC的距离相等，‎ 所以点C1到截面A1BC的距离为．…‎ ‎20.解：（I）由题意可得，e==，•2c•b=2，a2﹣b2=c2，‎ 解得a=2，b=，‎ 即有椭圆方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=x+m代入椭圆方程x2+4y2=8，‎ 可得x2+2mx+2m2﹣4=0，判别式△=4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，‎ 解得﹣2＜m＜2且m≠0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，‎ 由直线与y轴交于（0，m），‎ 则S△OAB=|m|•|x1﹣x2|=|m|•‎ ‎=|m|•≤=2，‎ 当且仅当m=±时取得等号．‎ 则OAB面积的最大值为2．‎ ‎21.解：（1）a=2时，F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣﹣2x﹣b，‎ F′（x）=+﹣2，（x＞0），‎ F′（x）=，‎ 令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，‎ 令F′（x）＜0，解得：x＞1，‎ 故F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；‎ ‎（2）：设切点（m，lnm﹣），函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=+，‎ 即有切线的斜率为+，‎ 若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，‎ 则a=+，lnm﹣=ma+b，‎ 即有b=lnm﹣﹣1，‎ a+b=lnm﹣+﹣1，‎ 令=t＞0，则a+b=﹣lnt﹣t+t2﹣1，‎ 令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，‎ 则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，‎ 当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；‎ 当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．‎ 即有t=1时，φ（t）取得极小值，也为最小值．‎ 则a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，‎ 故a+b的最小值为﹣1．‎ ‎22.解：（Ⅰ）C: ‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得 因为 由题意知，‎ ‎ 代入得 ‎ ‎23.解：（1）当时，由不等式得，因为在数轴上到点1和4的距离之和等于5的点为0和5，所以的解集为；‎ ‎（2）因为，所以若不等式对恒成立，则，解得.‎