辽宁省沈阳市2020届高三年级教学质量监测（三）数学（理科）试题 Word版含答案

辽宁省沈阳市2020届高三年级教学质量监测（三）数学（理科）试题 Word版含答案

‎2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）‎ 数 学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。‎ 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。‎ 3. 考试结束后，考生将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题　共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2．复数，若复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 A． B． C． D．‎ ‎3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则 A． B． C． D．‎ ‎4．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入，，，则输出的结果为 A．， B．， C．， D．，‎ ‎5．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示为，则 A． B． C． D．‎ ‎6．已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该几何体的侧面积为 A． B． C． D．‎ ‎7．设函数，则“”是“的最小正周期为”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件“个医疗小组去的国家各不相同”，事件“小组甲独自去一个国家”，则 A． B． C． D．‎ ‎9．已知为的外接圆的圆心，且，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎10．我们打印用的纸的长与宽的比约为，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面为一张纸，若点为上底面圆上弧的中点，则异面直线与所成的角约为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知与之间的几组数据如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎4‎ 上表数据中的平均值为，若某同学对赋了三个值分别为，，，得到三条线性回归直线方程分别为，，，对应的相关系数分别为，，，下列结论中错误的是 A．三条回归直线有共同交点 B．相关系数中，最大 C． D． 参考公式：线性回归方程中，其中，．相关系数．‎ ‎12．已知函数，过点的直线与的图象有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知是常数，，且 ，则＿＿＿＿＿＿＿＿．‎ ‎14．已知，若，则＿＿＿＿＿＿＿＿．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，且，则该双曲线的离心率为＿＿＿＿＿＿＿＿．‎ ‎16．在△中，角的对边分别为，设△的面积为，若，则的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分） 已知数列的前项和，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分） 随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台．已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给‎5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：‎ 送餐距离(千米)‎ 频数 ‎15‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率． （1）若某送餐员一天送餐的总距离为‎100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数,且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定‎2千米内为短距离，每份3元，‎2千米到‎4千米为中距离，每份7元，超过‎4千米为远距离，每份12元．记为送餐员送一份外卖收入（单位：元），求的分布列和数学期望．‎ ‎19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，点为棱的中点． （1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （2）若，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分） 已知椭圆，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，左、右焦点分别为、． （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点且不平行坐标轴的直线交椭圆于、两点，若的中点为，为原点，直线交直线于点，求的最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分） 已知函数在处取到极值为． （1）求函数的单调区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．‎ ‎22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程； （2）曲线上两点与点，求面积的最大值．‎ ‎23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知均为正数，设函数，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数的最大值为，证明：．‎ ‎2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）‎ 数学（理科）【答案与评分标准】‎ 第Ⅰ卷（选择题　共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 B A C D B C 题号 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A A C D B 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）‎ ‎　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分） （1）当时，， 当时，， ……2分 当时，也满足上式，故， ……3分 ∵成等比数列，∴， ……4分 ∴，∴ ∴； ……6分 由（1）可得， 　 ……9分 ∴． 　 ……12分 ‎18．（本小题满分12分） （1）估计每名外卖用户的平均送餐距离为： 千米． ……3分 所以送餐距离为100千米时，送餐份数为：份； ……5分 （2）由题意知的可能取值为：3，7，12． ……6分 ‎ ‎， ……7分 ， ……8分 ． ……9分 所以的分布列为：‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎　 ……10分 ∴． ……12分 ‎19．（本小题满分12分） （1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点． 证明：取的中点，连结、， 由题意，且， 且， 故且． ∴四边形为平行四边形．　　　……2分 ∴，又平面， ∴平面． ……4分 （2）菱形中，，又，． ∴平面，又面，∴， ∵，，∴平面． ……6分 取中点为，则． 以为原点，，，为，，轴建立如图空间直角坐标系，设， 则由题意知，，，，． ‎ ‎，， ……7分 设平面的法向量为，则由得， 令，则，，所以取， ……9分 显然可取平面的法向量， 由题意：，所以． ……10分 ， 设直线与平面所成的角为， 则． ……12分 ‎20．（本小题满分12分） 解：（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上． 所以一定不在椭圆上．根据题意也在椭圆上． ……2分 将，带入椭圆方程，解得椭圆方程为．……4分 （2）设直线方程为（），，， 联立，可得． ……5分 则，且，， ……6分 设的中点，则，， ∴坐标为， ‎ ‎． ……8分 因此直线的方程为，从而点为，又， ． ……9分 ，令， 则， 因此当，即时最大值为3． 所以取得最大值． ……12分 ‎21．（本小题满分12分） （1）由已知定义域为，， 由，又，得， ，所以， ……2分 从而又。 由得：；由得：或。 故的单调递减区间是：和；单调递增区间是：。 　 ……4分 （2）等价于在上恒成立， 令，则只需即可． ……5分 ‎ ‎，令， 则。 所以在上单调递增， 又，， ……7分 所以有唯一的零点，在上单调递减，在上单调递增． ……8分 因为，两边同时取自然对数，则有， 即。 ……10分 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又，所以，即． ……11分 所以，即， 于是实数的取值范围是． ……12分 ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．‎ ‎22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 解：（1）设的极坐标为（），的极坐标为（）． 　 ……1分 由题设知，． 由， ……3分 ‎ 得， 所以的极坐标方程（）， 因此的直角坐标方程为（）． ……5分 （2）依题意：，． ……6分 于是△面积： 　　　　　　　　　　． ……８分 当时，取得最大值． ……9分 所以△面积的最大值为． ……10分 ‎23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分） 解：（1）当时，不等式化为，……1分 当时，原不等式化为，解集为； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得． ……4分 ∴不等式的解集为． ……5分 （2）因为， 又因为，所以． ……6分 方法一： ， ……9分 当且仅当，即 ‎ 即等号成立． ……10分 方法二： ， ……9分 当且仅当，即等号成立． ……10分