2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z•i=1+i，则z=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎2．（5分）抛物线x2=ay的准线方程为y=1，则a的值为（　　）‎ A． B．﹣2 C． D．﹣4‎ ‎3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q ‎4．（5分）过点（3，0）的直线与双曲线有唯一公共点，这样的直线有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎5．（5分）《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺．以后每天减半．”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出n=（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎6．（5分）以下四个命题，其中正确的是（　　）‎ A．由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀 B．两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0‎ C．在线性回归方程=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，变量平均增加0.2个单位 D．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点中的一个点．‎ ‎7．（5分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（　　）‎ A．＞，s＜ B．=，s＞‎ C．=，s= D．=，s＜‎ ‎8．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）椭圆=1中，以点M（﹣1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎10．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点F2关于渐近线的对称点P恰好落在以F1为圆心、|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎11．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎12．（5分）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）双曲线的焦距为　 　．‎ ‎14．（5分）有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为　 　、　 　、　 　、　 　．‎ ‎15．（5分）已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）4=4上点的距离为d2，则d1+d2的最小值为　 　．‎ ‎16．（5分）下列说法中 ‎①命题“己知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；‎ ‎②命题“若p，则q”的否命题为“若q，则p”；‎ ‎③若a＞b，则；‎ ‎④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”．‎ 正确说法的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知命题A：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣3t﹣4＜0成立．‎ ‎（1）若命题A中的椭圆的离心率为，求实数t的值；‎ ‎（2）命题A是命题B的什么条件．‎ ‎18．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．‎ 组号 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎[75，80）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎2‎ ‎[80，85）‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎3‎ ‎[85，90）‎ a b ‎4‎ ‎[90，95）‎ C d ‎5‎ ‎[95，100）‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎（1）求a，b，c，d的值．‎ ‎（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？‎ ‎（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率．‎ ‎19．（12分）已知关于x的一次函数y=mx+n．‎ ‎（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；‎ ‎（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率．‎ ‎20．（12分）己知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点．‎ ‎（1）若，求直线l的方程；‎ ‎（2）若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，M，N分别是椭圆的上、下顶点，．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若直线y=kx+m与椭圆E交于相异两点A，B，且满足直线MA，MB的斜率之积为，证明：直线AB恒过定点，并采定点的坐标．‎ ‎22．（12分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 ‎（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 ‎（1）求圆C的直角坐标方程：‎ ‎（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z•i=1+i，则z=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：由z•i=1+i，得z=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）抛物线x2=ay的准线方程为y=1，则a的值为（　　）‎ A． B．﹣2 C． D．﹣4‎ ‎【分析】根据题意，由抛物线标准方程和准线方程的关系可得﹣=1，解可得a的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，抛物线x2=ay的准线方程为y=1，‎ 则有﹣=1，‎ 解可得a=﹣4；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，关键是掌握抛物线准线方程的求法．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q ‎【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．‎ 故命题p为真命题；‎ 当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，‎ 故命题q为假命题，‎ 故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；‎ 命题p∧￢q为真命题，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）过点（3，0）的直线与双曲线有唯一公共点，这样的直线有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【分析】根据题意，设直线的方程为y=k（x﹣3），与双曲线方程联立可得x2﹣4k2（x﹣3）2﹣4=0，变形可得：（1﹣4k2）x2﹣24k2x﹣36k2=0，分析方程的二次项系数与△，分析方程的根的情况，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，直线过点（3，0），设直线的方程为y=k（x﹣3），‎ 双曲线的方程为，即x2﹣4y2﹣4=0，‎ 则有x2﹣4k2（x﹣3）2﹣4=0，‎ 变形可得：（1﹣4k2）x2﹣24k2x﹣36k2=0，‎ 分析可得：当1﹣4k2=0，即k=±时，方程有1解，即直线与双曲线只有一个交点，‎ 当1﹣4k2≠0，即k≠±时，有△=（24k2）2﹣4（1﹣4k2）（﹣36k2）=144k2≥‎ ‎0，‎ 当k=0时，直线为x=0，与双曲线有2个交点，不符合题意；‎ 当k≠0时，方程有2个根，直线与双曲线有2个交点，不符合题意；‎ 则过点（3，0）与双曲线唯一公共点的直线有2条，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，注意分析二次方程中二次项系数可能为0．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺．以后每天减半．”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出n=（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应的n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 S=0，a=1，n=1‎ S=2‎ 不满足条件S≥16，执行循环体，a=，n=2，S=4+‎ 不满足条件S≥16，执行循环体，a=，n=4，S=8+‎ 不满足条件S≥16，执行循环体，a=，n=8，S=16+‎ 满足条件S≥16，退出循环，输出n的值为8．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）以下四个命题，其中正确的是（　　）‎ A．由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀 B．两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0‎ C．在线性回归方程=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，变量平均增加0.2个单位 D．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点中的一个点．‎ ‎【分析】根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．‎ ‎【解答】解：对于A，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，‎ 不是“数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀”，∴A错误；‎ 对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，‎ 则相关系数的绝对值越接近于1，∴B正确；‎ 对于C，根据线性回归方程=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，‎ 预报变量平均增加0.2个单位，C正确；‎ 对于D，线性回归方程对应的直线=x+可能不经过其样本数据点 中的任何一个点，D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了回归分析与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s，s分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（　　）‎ A．＞，s＜ B．=，s＞‎ C．=，s= D．=，s＜‎ ‎【分析】分别计算甲、乙运动员成绩的平均数与方差，进行比较即可．‎ ‎【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；‎ 甲运动员成绩的平均数是=（9+14+15+15+16+21）=15，‎ 方差是=[（9﹣15）2+（14﹣15）2+2×（15﹣15）2+（16﹣15）2+（21﹣15）2]=；‎ 乙运动员成绩的平均数是=（8+13+15+15+17+22）=15，‎ 方差是=[（8﹣15）2+（13﹣15）2+2×（15﹣15）2+（17﹣15）2+（22﹣15）2]=；‎ ‎∴=，＜．‎ 故选：D，‎ ‎【点评】本题考查了求数据的平均数与方差、标准差的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为﹣y2=t（t≠0），将点（2，﹣2）代入双曲线的方程，计算可得t的值，将t的值代入双曲线的方程，变形即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线有共同渐近线，‎ 设其方程为：﹣y2=t，（t≠0）‎ 又由点（2，﹣2）在双曲线上，则有﹣（﹣2）2=t，‎ 解可得t=﹣2，‎ 则双曲线的方程为；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握有共同渐近线方程的双曲线方程的特点．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）椭圆=1中，以点M（﹣1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．‎ ‎【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 代入椭圆得，‎ 两式相减得，‎ 即，‎ 即，‎ 即，‎ 即，‎ ‎∴弦所在的直线的斜率为，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点F2关于渐近线的对称点P恰好落在以F1为圆心、|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，设双曲线的方程为 ，‎ F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 设一条渐近线方程为y=x，‎ 则F2到渐近线的距离为 =b．‎ 设F2关于渐近线的对称点为P，F2P与渐近线交于A，‎ 可得|PF2|=2b，A为F2P的中点，‎ 又O是F1F2的中点，∴OA∥F1P，则∠F1PF2为直角，‎ 由△MF1F2为直角三角形，‎ 由勾股定理得4c2=c2+4b2‎ 即有3c2=4（c2﹣a2），即为c2=4a2，‎ 即c=2a，则e==2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以=，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，‎ 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．‎ ‎【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．‎ ‎【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，‎ 在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，‎ ‎∴2|AE|=|AC|‎ ‎∴3+3a=6，‎ 从而得a=1，‎ ‎∵BD∥FG，‎ ‎∴=求得p=，‎ 因此抛物线方程为y2=3x．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）双曲线的焦距为　2　．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，进而由双曲线焦距的定义即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，‎ 其中a=2，b=3，‎ 则c==，‎ 则双曲线的焦距2c=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线的焦距是2c．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为　4　、　2　、　1　、　3　．‎ ‎【分析】根据预测都不正确，即可推出相对应的数字 ‎【解答】解：乙丙丁所说为假⇒甲拿4，甲乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇌乙拿2；‎ 故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3，‎ 故答案为：4，2，1，3‎ ‎【点评】本题考查了合情推理的问题，关键是掌握命题的否定，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）4=4上点的距离为d2，则d1+d2的最小值为　3　．‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设PK⊥准线l，垂足为K，由抛物线的定义可得|PF|=|PK|，求得圆的圆心和半径，连接FM，当F，P，M三点共线，取得最小值，运用两点的距离公式计算即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1，‎ 设PK⊥准线l，垂足为K，‎ 由抛物线的定义可得|PF|=|PK|，圆（x+2）2+（y+4）4=4的圆心为M（﹣2，﹣4），半径为r=2，‎ 连接FM，当F，P，M三点共线，取得最小值．‎ 可得d1+d2的最小值为|FM|﹣r=﹣2=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】‎ 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要是定义的运用，同时考查圆的性质，以及三点共线，取得最小值，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）下列说法中 ‎①命题“己知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；‎ ‎②命题“若p，则q”的否命题为“若q，则p”；‎ ‎③若a＞b，则；‎ ‎④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”．‎ 正确说法的序号是　①④　．‎ ‎【分析】①根据逆否命题的等价性去判断逆否命题的真假即可．‎ ‎②根据否命题的定义进行判断．‎ ‎③根据不等式的关系进行判断．‎ ‎④根据特称命题的否定是全称命题进行判断．‎ ‎【解答】解：①命题的逆否命题为若x=2且y=1，则x+y=3，为真命题，则原命题为真命题，故①正确，‎ ‎②题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，故②错误；‎ ‎③当a＞0，b＜0时，满足a＞b，则＞，即不成立；故③错误，‎ ‎④命题“”的否定为“∀x∈R，x2≠1”为真命题．‎ 故正确的是①④，‎ 故答案为：①④‎ ‎【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系，含有量词的命题的否定，以及命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知命题A：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣3t﹣4＜0成立．‎ ‎（1）若命题A中的椭圆的离心率为，求实数t的值；‎ ‎（2）命题A是命题B的什么条件．‎ ‎【分析】（1）求出命题为真的等价条件，结合椭圆离心率进行求解即可．‎ ‎（2）根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得：，解得：1＜t＜3，‎ 若椭圆离心率为，即e==，解得：t=2．‎ ‎（2）命题A成立的条件为1＜t＜3，‎ 由 t2﹣3t﹣4＜0得﹣1＜t＜4，‎ 命题B成立的条件为﹣1＜t＜4，‎ 由此可得命题A是命题B的充分不必要条件．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．‎ 组号 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎[75，80）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎2‎ ‎[80，85）‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎3‎ ‎[85，90）‎ a b ‎4‎ ‎[90，95）‎ C d ‎5‎ ‎[95，100）‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎（1）求a，b，c，d的值．‎ ‎（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？‎ ‎（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率．‎ ‎【分析】（1）利用频率分布表能求出a，b，c，d的值．‎ ‎（2）三个组共有60人，从而利用分层抽样抽样方法抽取6名学生第三组应抽3人，第四组应抽2 人，第五组应抽1 人．‎ ‎（3）记第三组抽出的3人分别a，b，c，第四组抽出的2人分别d，e，第五组抽出的1人为f，从这6人中随机抽取2人，利用列举法能求出2人来自同一组的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得b=0.06×5=0.3，‎ a=100×0.3=30，d=1﹣0.05﹣0.35﹣0.3﹣0.1=0.2，‎ c=100×0.2=20．‎ ‎（2）三个组共有60人，∴第三组应抽6×人，‎ 第四组应抽6× 人，‎ 第五组应抽6× 人．‎ ‎（3）记第三组抽出的3人分别a，b，c，第四组抽出的2人分别d，e，第五组抽出的1人为f，‎ 从这6人中随机抽取2人，基本事件包含15个基本事件，分别为：‎ ‎（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）．‎ 其中2人来自同一组的情况有4种分别为：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），‎ ‎∴2人来自同一组的概率为p=．‎ ‎【点评】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法、考查频率分布表、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知关于x的一次函数y=mx+n．‎ ‎（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；‎ ‎（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率．‎ ‎【分析】（1）本小题是古典概型问题，欲求函数y=mx+n是增函数的概率，只须求出满足：使函数为增函数的事件空间中元素有多少个，再将求得的值与抽取的全部结果的个数求比值即得．‎ ‎（2）本小题是几何概型问题，欲求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率，只须求出满足使函数图象过一、二、三象限的区域的面积，再将求得的面积值与整个区域的面积求比值即得．‎ ‎【解答】解：（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：‎ Ω={（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣1，﹣2），（﹣1，3），‎ ‎（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），‎ ‎（3，3）}共10个基本事件（2分）‎ 设使函数为增函数的事件空间为A：‎ 则A={（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），‎ ‎（3，3）}有6个基本事件（4分）‎ 所以，（6分）‎ ‎（2）m、n满足条件m+n﹣1≤0，﹣1≤m≤1，﹣1≤n≤1的区域如图所示：‎ 使函数图象过一、二、三象限的（m，n）为区域为第一象限的阴影部分 ‎∴所求事件的概率为．（12分）‎ ‎【点评】‎ 本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识．古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，几何概型的特点有下面两个：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）己知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点．‎ ‎（1）若，求直线l的方程；‎ ‎（2）若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由抛物线方程可得Q（0，﹣1），设直线l：y=kx﹣1，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积，结合弦长公式求得k，进一步得到直线l的方程；‎ ‎（2）由点F在以AB为直径的圆外部，可得，结合（1）中根与系数的关系及判别式求得直线l的斜率的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由抛物线C：x2=4y，可得Q（0，﹣1），且直线l斜率存在，‎ ‎∴可设直线l：y=kx﹣1，‎ 由，得：x2﹣4kx+4=0，‎ 令△=16k2﹣16＞0，解得：k＜﹣1或k＞1．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=4k，x1x2=4，‎ ‎∴|AB|==．‎ ‎∵|AB|=，∴k4﹣1=15，解得k=±2，‎ ‎∴直线l的方程为：y=±2x﹣1；‎ ‎（2）由（1）知，k＜﹣1或k＞1，x1+x2=4k，x1x2=4，‎ ‎∵点F在以AB为直径的圆外部，‎ ‎∴=x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1‎ ‎=，‎ 解得：k2＜2，即﹣．‎ 又k＜﹣1或k＞1，‎ ‎∴直线l的斜率的取值范围是（﹣，﹣1）∪（1，）．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，M，N分别是椭圆的上、下顶点，．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若直线y=kx+m与椭圆E交于相异两点A，B，且满足直线MA，MB的斜率之积为，证明：直线AB恒过定点，并采定点的坐标．‎ ‎【分析】（1）由题意可得，，结合，e=及隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）求出椭圆上顶点M（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及直线MA，MB的斜率之积为求得m值，即可证得直线AB恒过定点，并求得定点的坐标．‎ ‎【解答】（1）解：由题知F2（c，0），M（0，b），N（0，﹣b），可得，，‎ ‎∴，①‎ 由e=，得a=2c，②‎ 又a2﹣b2=c2，③‎ 由①②③联立解得：a2=4，b2=3，‎ ‎∴椭圆E的方程为；‎ ‎（2）证明：由椭圆E的方程得，上顶点M（0，），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．‎ 由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0．‎ ‎∴，，‎ 又，．‎ 由，得，‎ 即：，‎ ‎∴，‎ 化简得：．‎ 解得：或m=，结合x1≠0，x2≠0，‎ 可得m=．‎ 即直线AB恒过定点（0，2）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”及“整体运算”思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 ‎（1）求圆C的直角坐标方程：‎ ‎（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．‎ ‎【分析】（1）直接把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程．‎ ‎（2）利用直线和圆的位置关系，进一步建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）圆的极坐标方程：，‎ 转化为：．‎ 即：．‎ ‎（2）将直线的参数方程（t为参数）代入圆的直角坐标方程得：‎ ‎，‎ 所以：，（t1和t2为A、B的参数）．‎ 故：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的转化，直线和圆的位置关系的应用．一元二次方程根与系数的关系的应用．‎ ‎　‎