四川省泸县第四中学2019届高三三诊模拟数学（理）试卷

四川省泸县第四中学2019届高三三诊模拟数学（理）试卷

四川省泸县四中高2019届三诊模拟考试 数学（理工类）试题 本试卷共4页，共23题（含选考题），全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎ ‎ 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数, , , ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点，则 A． B． C． D．‎ ‎3.设函数的图象关于直线对称，则的值为 ‎ A．3 B．‎2 C. 1 D．-1‎ ‎4.二项式展开式中的常数项为 ‎ A．10 B．‎-10 C. 5 D．-5‎ ‎5.已知等差数列的前项为，且，，则 ‎ A．90 B．‎100 C．110 D．120‎ ‎6.已知，则点在直线的右下方是是双曲线的离心率的取值范围为的 ‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7. 设，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.‎2017年11月30日至‎12月2日 ‎,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法种数为 A. 5040 B. ‎4800 C. 3720 D. 4920‎ ‎9.已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则该三角形为 ‎ A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 ‎10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上的一点，点关于的对称点为，若且，则的值为 ‎ A．18 B．‎12 C．6 D．6或18‎ ‎11.已知函数，在的大致图象如图所示，则可取 ‎ A． B． C. D． ‎ ‎12.已知，若有四个不同的实根且，则的取值范围为 ‎ A． B． C. D． ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若实数满足，则的最大值为 .‎ ‎14.若双曲线的渐近线与圆相切，则 .‎ ‎15．如图，在正方体中，分别为棱 的中点，则与平面所成角的余弦值为 ．‎ ‎16．已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是______．‎ 三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17. (本大题满分12分)‎ 在中，分别是角的对边，且，‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的面积.‎ ‎18.(本大题满分12分)‎ 为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标)、推理(能力指标)、建模(能力指标)的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下：‎ ‎（I）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；‎ ‎（II）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求随机变量的分布列及其数学期望.‎ ‎19.(本大题满分12分)‎ 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，，点为中点，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20.(本大题满分12分)‎ 已知抛物线的焦点为曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若、、三个点满足，求直线的方程.‎ ‎21..(本大题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在两个极值点且满足，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.‎ ‎23．【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求的最大值；‎ ‎ （Ⅱ）设，，，且，求证：．‎ ‎四川省泸县四中高2019届三诊模拟考试 数学（理工类）试题答案 一、选择题 ‎1.B 2.A 3.A 4.B 5.A 6.A 7.A 8.D 9.D 10.C 11.C 12.D 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16．‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由得出：， ‎ 由及正弦定理可得出：，所以， ‎ 再由知，所以为锐角，， ‎ 所以 ‎ ‎（Ⅱ）由及可得出，所以. ‎ ‎18.（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模 能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，则.‎ ‎(2)由题可知，数学核心素养一级: ，数学核心素养不是一级的: ；的可能取值为1，2，3，4，5.‎ ‎；；；；.‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎19.解析：（I）在△中，有 同理可得：‎ 而，平面 平面 在△中，易知、分别为、中点，则 ‎ 而平面平面．‎ ‎（II）由（I）知：平面，故可建立空间直角坐标系，如图所示，则 ‎，，， ‎ ‎，，‎ 设、 分别为平面和平面的一个法向量，则 ‎，，‎ 不妨设，则，‎ ‎ ‎ 由图易知二面角为钝二面角 二面角的的余弦值为．‎ ‎20. 解：（Ⅰ）解由曲线，可得，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，得，所抛物线的方程为 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，消去得 ‎ ，设，由根与系数的关系得，‎ 因为，故，得，由及，‎ 解得或，代入，解得或 故的方程为或，化简得或 另解：如图，由，可设，则 ‎，因为，所以 解得，，所以，在中，‎ ‎，即（为直线的斜率），所以 直线的方程为，即，由于对称性知另一条直线的方程为.‎ ‎21.解：(1)定义域为，‎ ‎，‎ 当或时，恒成立，‎ 当时，由得或，‎ 于是结合函数定义域的分析可得：‎ 当时，函数在定义域上是增函数；‎ 当时，函数定义域为，此时有，‎ 于是在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 当时，函数定义域为，‎ 于是在上为减函数，在上为增函数，‎ 当时，函数定义域为，此时有，‎ 于是在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 当时，函数定义域为，‎ 于是在上是增函数，在上是增函数.‎ ‎(2)由(1)知存在两个极值点时，的取值范围是，‎ 由(1)可知，，‎ ‎；‎ 不等式化为，‎ 令，所以，‎ 令，，‎ 当时，，，，所以，不合题意；‎ 当时，，，‎ 所以在上是减函数，所以，适量题意，即.‎ 综上，若，此时正数的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则 到直线的距离 ‎，‎ 当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.‎ ‎（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，∴恒成立，即(其中)恒成立，∴，又，解得，故的取值范围为.‎ ‎23.（1）由知，即．.‎ ‎（2）：∵， ∴‎ ‎．当且仅当，即，，时取等号，即