2019-2020学年福建省厦门市六中高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省厦门市六中高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省厦门市六中高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合 ，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由集合A,B,结合交集运算即可求得.‎ ‎【详解】‎ 集合，‎ 则由集合交集运算可得 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.‎ ‎2．是一次函数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可设f（x）=ax+b，可得关于a,b的方程组,即可求出f(x)的解析式.‎ ‎【详解】‎ 由题意,设f（x）=ax+b,则 解得 ,‎ 故f(x)=x-,故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了待定系数法求函数解析式. 其步骤一般为：①根据函数类型设出函数的解析式,②根据题意构造关于系数的方程（组）,③解方程（组）,确定各系数的值,④将求出的系数值代入求得函数的解析式.‎ ‎3．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二次根式被开方数大于等于0，求解分式不等式和一元二次不等式，最后将解得的x的范围取交集.‎ ‎【详解】‎ 要使二次根式有意义，则 ，‎ 由①得：（x+2）（1-x）≥0且x≠1，解得：-2≤x＜1，‎ 解②得：x≤-1或x≥2．故原函数的定义域为{x|-2≤x≤-1}．故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域，考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，注意原函数的定义域为两个不等式解集的交集 .‎ ‎4．下列函数中在上单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合初等基本函数在区间上单调性判断.‎ ‎【详解】‎ A中在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是增函数，‎ B中，y=1-x2在（-∞，0）上是增函数，‎ C中，y=x2+x= ，在（-∞，-）上是减函数，在（-，+∞）上是增函数，‎ D中，y= ，定义域为（-∞，1],根据复合函数的单调性，函数在（-∞，1]是减函数，故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性的判断，涉及基本初等函数的性质；判断复合函数的单调性，可依据 “同增异减”判断，即两个函数单调性不一致，其复合函数为减函数.‎ ‎5．已知函数，则 ‎（ ）‎ A．3 B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据，求出，再由倒序相加法，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，‎ 记，‎ 则，‎ 所以，‎ 故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值求和的问题，灵活运用倒序求和的方法即可，属于常考题型.‎ ‎6．设,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数y=0.6x在R上单调性，可得y2＜y3．再根据函数y=的单调性，可得y1＜y2，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 根据函数y=0.6x在R上单调递减，可知,即y2＜y3，‎ 根据函数y=在（0，+∞）上是增函数，可知，即y1＜y2‎ 综上，，故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了幂的大小比较问题，若底数相同，指数不同，可通过指数函数的单调性比较；若指数相同，底数不同，可利用幂函数的单调性比较.‎ ‎7．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】应用函数零点存在性定理判断.‎ ‎【详解】‎ 易知函数f（x）=在定义域上连续，‎ 且f()=<0 , f（1）= -1<0 , f(2)= , ,‎ 根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.‎ ‎8．设函数，若对任意的都满足成立，则函数可以是（ ）‎ A． B．‎ C． D．不存在这样的函数 ‎【答案】B ‎【解析】分情况讨论，得不等式，进而依次判断即可.‎ ‎【详解】‎ 当x为无理数时，f（x）=0，xf（x）≤g（x）⇔0≤g（x），‎ 当x为有理数时，f（x）=1，xf（x）≤g（x）⇔x≤g（x），‎ 若g（x）=x，当x= - ，时g（x）<0，即A不正确 若g（x）=，已知对任意实数，x≤，且故当x为有理数或无理数时，不等式恒成立，即B正确；‎ 若g（x）=x2，当x= ，则g（）= ，，即C不正确；‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数、函数恒成立问题，考查了分析问题解决问题的能力．难度一般．‎ ‎9．已知方程 有两个正根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】据一元二次方程有两个不相等实数根时满足,两根之和和两个之积都大于0，解不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设两个正根分别为由题意可得：，解得 的取值范围为,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,考查了根的分部以及韦达定理的简单应用,属于基础题.‎ ‎10．已知函数，若，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．与的大小不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】判断f（x1）-f（x2）的正负即可 ‎【详解】‎ f（x1）-f（x2）‎ ‎=（ax12+2ax1+4）-（ax22+2ax2+4）=a（x1-x2）（x1+x2）+2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2+2）‎ 因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0所以x1-x2＜0，x1+x2+2＞0所以f（x1）-f（x2）＜0‎ 即f（x1）＜f（x2）．故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数值作差法比较大小，作差，判断式子的正负，也是判断函数单调性的一种常用方法.‎ ‎11．设整数,集合.令集合若和都在中,则下列选项正确的是( )‎ A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎【答案】B ‎【解析】特殊值法,不妨令,,则,,故选B．‎ 如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.‎ ‎【考点定位】新定义的集合问题 ‎12．设函数，则下列命题中正确的个数是（ ）‎ ‎①当时，函数在上是单调增函数；‎ ‎②当时，函数在上有最小值；‎ ‎③函数的图象关于点对称；‎ ‎④方程可能有三个实数根.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】将转化为分段函数，进而分别判断.‎ ‎【详解】‎ ‎= ,‎ 当b>0时,结合一元二次方程根与系数的关系，可判断y=，在（-，0 ）上是增函数，y=，在[0,+)上是增函数，且x=0时，函数图象连续，故f（x）在R上是单调增函数.故①正确；‎ 当b＜0时，f（x）的值域是R，没有最小值，故②错误；‎ 若f（x）=|x|x+bx，f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数，即函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象向上（下）平移个单位 ，故图象一定是关于（0，c）对称的，故③正确；‎ 令b=-2，c=0，则f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以④正确．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，若题目中含有绝对值，通常采取去绝对值的方法，进行分类讨论；函数的对称性问题一般转化为分析函数的奇偶性，再根据函数图象的平移进行判断；存在性的命题，一般可通过特殊值法来解决．‎ 二、填空题 ‎13．设集合，集合，则集合中的元素个数为______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】本题首先可以根据题意可知、、，然后依次计算出的所有可能的值并消去相同的结果，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ 所以的可能结果有种，依次是，‎ 所以中有个元素，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，在计算集合中的元素的个数的时候，需要注意元素的互异性，属于基础题.‎ ‎14．，则______________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用赋值法即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数值，考查赋值法，考查对应法则的理解，属于基础题.‎ ‎15．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且它们在上的图象如图所示，则不等式在上的解集是________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式的解集，与f（x）g(x)0且g（x）0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.‎ ‎【详解】‎ 将不等式转化为f（x）g(x)0且g（x）0，‎ 如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]‎ ‎∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数∴f（x）g（x）是奇函数,‎ 故在y轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0) ‎ 故不等式在上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.‎ ‎16．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ．‎ ‎【答案】9。‎ ‎【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，‎ ‎∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.‎ 又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，‎ ‎∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据分数指数幂的运算性质计算 ‎（2）根据对数的运算性质计算.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 原式= ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数与对数的运算性质的灵活应用，考查了推理能力与计算能力.‎ ‎18．已知全集U=R,,.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）求,.‎ ‎【答案】（1），； （2），.‎ ‎【解析】（1）根据集合的交集的概念及运算，可得，根据集合的并集的概念及运算，可得；‎ ‎（2）根据集合的补集运算，可得，即可求得，又由，即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，集合,，‎ 根据集合的交集的概念及运算，可得，‎ 根据集合的并集的概念及运算，可得.‎ ‎（2）由题意，知，，，‎ 可得，所以，‎ 又由，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集、并集和补集的运算，其中解答中熟记集合的运算的基本概念和运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知集合,,，且,求的取值范围.‎ ‎【答案】解：，当时，，‎ 而则这是矛盾的；‎ 当时，，而，‎ 则；‎ 当时，，而，‎ 则；∴‎ ‎【解析】先分类讨论A是否是空集，再当A不是空集时，分-2≤a＜0，0≤a≤2，a＞2三种情况分析a的取值范围，综合讨论结果，即可得到a的取值范围 ‎【详解】‎ 若A=∅，则a＜-2，故B=C=∅，满足CB；‎ 若A∅，即a-2， ‎ 由在上是增函数，得，即 ‎①当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾；‎ ‎②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；‎ ‎③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．‎ ‎20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：‎ ‎（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？‎ ‎（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．‎ ‎【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；‎ ‎（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，当时，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或，‎ ‎∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；‎ ‎（2）当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ ‎∴；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；‎ 有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；‎ 当自驾人数为时，人均通勤时间最少．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．‎ ‎21．已知是定义在上的奇函数，且，若且时，有成立．‎ ‎（1）判断在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（2）解不等式；‎ ‎（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 ‎【解析】（1）利用函数单调性的定义，奇函数的性质，结合，判断在上的单调递增;‎ ‎(2) 根据（1）的结论，以及函数的定义域，列出不等式组,求出x的范围;‎ ‎（3）根据（1）的结论和条件，将问题转化为m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，构造函数g（a）= -2m•a+m2，进而求得m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 任取x1，x2∈[－1,1]且x10，<0,‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

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