天津市南开区南大奥宇培训学校2020届高三4月月考数学试题(无答案)

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天津市南开区南大奥宇培训学校2020届高三4月月考数学试题(无答案)

‎2020-04 天津市4 月考 第 I 卷(选择题)‎ 一、选择题(本大题共 9 小题,共 45.0 分)‎ ‎1. 已知集合 A={x|-2≤x≤2},B═{x|y=},那么 A∩B=( )‎ A. {x|-2≤x<1} B. {x|-2≤x≤1} C. {x|x<-2} D. {x|x≤2}‎ ‎2. 设 a,b∈R,则“a<b”是“(a-b)a2<0”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数 y=的图象大致为 ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 4. 已知函数 f(x)=e|x|,令,则 a,b,c 的大小关系为( )‎ A. b<a<c B. c<b<a C. b<c<a D. a<b<c ‎-‎ 5. 已知双曲线 =1(a>0,b>0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲 线的方程为()‎ A. B. C. D.‎ 6. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题:有厚墙 5 尺,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺, 以后每天减半.问两鼠在第几天相遇?( )‎ A. 第 2 天 B. 第 3 天 C. 第 4 天 D. 第 5 天 7. 已知函数 = ,若 存在唯一的零点 ,且 >0,则 的取值范围为( )‎ A. (2,+∞) B. (-∞,-2) C. (1,+∞) D. (-∞,-1)‎ 第 4页,共 4页 3. 已知正三角形 ABC 的边长为 1,点 P 是 AB 边上的动点,点 Q 是 AC 边上的动点,且 ‎,则 的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 4. 若函数在 上是增函数,则ω的取值范围是( )‎ A. (0,1] B. (0,] C. [1,+∞) D. ‎ 第 II 卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共 6 小题,共 30.0 分)‎ 5. 已知复数 z= ,则 z 的实部为 .‎ ‎-‎ 6. 二项式( )5 的展开式中常数项为 (用数字作答).‎ 7. 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002,…,600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本, 且随机抽得的号码为 003,这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第一营区,从 301 到 495 在第二营区,从 496 到 600 在第三营区,三个营区被抽中的人数依次为 .‎ 8. 已知两圆 x2+y2=1 和 x2+y2-6x-8y+m=0,当 m= 时,两圆外切:当 m= 时,两圆内切.‎ 9. 在△ABC 中,已知 A=, ,若 BC=,D 为 AB 的中点,则 cosC= ,CD 的长为 .‎ 10. 已知函数 f(x)=ln(e2x+1)﹣mx 为偶函数,其中 e 为自然对数的底数,则 m= ,若 a2+ab+4b2≤m, 则 ab 的取值范围是 .‎ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 75.0 分)‎ 11. ‎(本题满分 14 分)为响应党中央号召,学校以“科学防疫”为主题举行在线知识竞赛.现有 10 道题, 其中 6 道甲类题,4 道乙类题,王同学从中任取 3 道题解答.‎ ‎(Ⅰ)求王同学至少取到 2 道乙类题的概率(5 分);‎ ‎(Ⅱ)如果王同学答对每道甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立,已知王同学恰好选中 2 道甲类题,1 道乙类题,用 X 表示王同学答对题的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望(9 分).‎ 第 4页,共 4页 3. ‎(本题满分 15 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,面PAD⊥面 ABCD,且△PAD 是边长为 2 的等边三角形,PC=,M 在PC 上,且 PA∥面 MBD (1) 求证:M 是 PC 的中点;(4 分)‎ (2) 求直线 PA 与 MB 所成角的正切值;(5 分)‎ (3) 在 PA 上是否存在点 F,使二面角 F-BD-M 为直角?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.(6 分)‎ 4. ‎(本题满分 15 分)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,且 a1=3,b2=a2,b5=a3+3,b8=a4.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an;(5 分)‎ ‎(Ⅱ)令 cn=log2,证明: <1(n∈N*,n≥2);(5 分)‎ ‎(Ⅲ)求 (n∈N*).(5 分)‎ 第 4页,共 4页 3. ‎(本题满分 15 分)已知椭圆 C:+ =1(a>b>0)的焦距为 2,左右焦点分别为 F1,F2,以原点 O 为圆心,以椭圆 C 的半短轴长为半径的圆与直线 3x-4y+5=0 相切.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(4 分)‎ ‎(Ⅱ)设不过原点的直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点.‎ (i) 若直线 AF2 与 BF2 的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=0,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标;(5 分)‎ (ii) 若直线 l 的斜率是直线 OA,OB 斜率的等比中项,求△OAB 面积的取值范围(6 分).‎ 4. ‎(本题满分 16 分)已知函数,a∈R.‎ ‎(I)若 a=-1,求函数 f(x)的单调区间;(5 分)‎ ‎(Ⅱ)若 f(x)≥0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,求正数 a 的取值范围;(5 分)‎ ‎(Ⅲ)证明: .(6 分)‎ 第 4页,共 4页
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