数学理卷·2018届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三）（2018

数学理卷·2018届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三）（2018

‎ 长春市普通高中2018届高三质量监测（三） 数学理科 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 设集合，，则李国波录 A. B. C. D. ‎ ‎2. 若复数，则 A. B. C. D. ‎ ‎3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 中国古代的算筹数码 ‎1 2 3 4 5 6 7 8 9‎ 纵式 横式 A. B. C. D. ‎ ‎4. 函数的部分图象大致为 ‎5. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则的值可以为 A. 　　 B. C. 　 D. ‎ ‎6.如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数,那么空白框中的语句及最后输出的值分别是 是 否 开始 ‎ ‎ 输出 结束 输入 ‎ A. 和　　B. 和 C. 和 　D. 和 ‎7. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A. 　 B. C. D. ‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是 主视图 侧视图 正视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ A.　 　 B. C. D. ‎ ‎9. 已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是 A.　 　 B. C. D. ‎ ‎10.已知边长为的等边三角形，为的中点，以为折痕，将△折成直二面角，则过四点的球的表面积为 A. B. C. 　 D. ‎ ‎11. 已知双曲线的左右两个焦点分别为和，若其右支上存在一点满足，使得的面积为，则该双曲线的离心率为 A. 　　 B. C.　 D. ‎ ‎12. 已知定义域为的函数的图象经过点，且对，都有，则不等式的解集为 A. 　 B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎13. 设实数满足约束条件，则的最大值为___________.‎ ‎14. 已知、取值如下表：‎ ‎ 画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值为_______.（精确到）‎ ‎15.已知函数，若，则实数的取值范围是___________.‎ ‎16. 已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且，在正项等比数列中，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示 ‎0.030‎ ‎0.015‎ ‎0.010‎ 频率/组距 ‎ 15 25 35 45 55 65 年龄（岁）‎ ‎ (1) 求的值 ‎(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；‎ ‎（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段的中点，.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）设，当时，若，其中 ‎，求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，：.‎ ‎（1）求与的交点的极坐标；（2）设点在上，，求动点的极坐标方程.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2) 对于，都有恒成立，求的取值范围.‎ 长春市普通高中2018届高三质量监测（三）‎ 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. C【命题意图】本题考查集合的运算. ‎ ‎ 【试题解析】C .故选C. ‎ ‎2. A【命题意图】本题考查复数. ‎ ‎【试题解析】A .故选A. ‎ ‎3. C【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题.‎ ‎【试题解析】C　由算筹含义. 故选C. ‎ ‎4. D【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.‎ ‎ 【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A，C，当，.故选D.‎ ‎5.C【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.‎ ‎【试题解析】C　由题意知，.故选C.‎ ‎6. D【命题意图】本题主要考查算法的相关知识. ‎ ‎【试题解析】D　根据程序框图.故选 D ‎ ‎7. A【命题意图】本题考查计数原理的应用.‎ ‎【试题解析】A　由题意知.故选A. ‎ ‎8. B【命题意图】本题主要考查三视图问题. ‎ ‎【试题解析】B　由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.故选B. ‎ ‎9. B【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识. ‎ ‎【试题解析】B 由题意知，由余弦定理，，故，有，故.故选B. ‎ ‎10. D【命题意图】本题主要考查球的相关问题. ‎ ‎【试题解析】D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为， 故其外接球的半径为，其表面积为.故选D. ‎ ‎11. B【命题意图】本题考查双曲线的相关知识. ‎ ‎【试题解析】B　由双曲线可知，从而.故选B. ‎ ‎12. B【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用. ‎ ‎【试题解析】B　令，有，所以在定义域内单调递增，由，得，因为等价于，令，有，则有，即，‎ 从而，解得且. 故选B.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.‎ ‎【试题解析】由可行域可确定目标函数在处取最大值.‎ ‎14. 【命题意图】本题考查回归方程的相关知识. ‎ ‎【试题解析】将代入回归方程为可得，则，‎ 解得，即精确到0.1后的值约. ‎ ‎15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.‎ ‎【试题解析】当，当，故. ‎ ‎16. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识. ‎ ‎【试题解析】由题意可知其最小值为.‎ 三、解答题 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. ‎ ‎ 【试题解析】解：（1），令，‎ ‎ ，‎ ‎ 又数列为等比，，‎ ‎ ，又各项均为正，‎ ‎ （2）由（1）得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识. ‎ ‎ 【试题解析】解：（1）由，得，‎ ‎（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人. ‎ ‎ 设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件， 则 ‎ ‎ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的 概率为的可能取值为0，1，2，3. ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎， ‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ ‎ 【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎ 【试题解析】答案：（1）取中点，连接 ‎ 分别是中点， ，‎ ‎ 为中点，为矩形，，‎ ‎ ，四边形为平行四边形 ‎ 平面，平面，平面 ‎（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系 ‎ 则 ‎ 设平面法向量为，，‎ ‎ 则， 即，取 ‎ 则设平面法向量为，，‎ ‎ 则， 即， 取 ‎ .‎ ‎ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力.‎ ‎ 【试题解析】解：(1)设动圆的半径为，由题意知 从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 并去 除点，从而轨迹的方程为.‎ ‎（2）设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有则，‎ 点到直线的距离为，点到直线的距离为，‎ 从而四边形的面积 令，有，函数在上单调递增，‎ 有，故，即四边形面积的最大值为.‎ ‎ 21.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.‎ ‎ 【试题解析】解：（1）的定义域为且单调递增，‎ ‎ 在上，恒成立，即：‎ ‎ 设 ，， ‎ ‎ 当时，在上为增函数，‎ ‎ 当时，在上为减函数，‎ ‎ ，，即 . ‎ ‎ （2） ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ，则，‎ ‎ 在上递增且 ‎ 令，‎ ‎ 设，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ，在上递增， ， ‎ ‎ ，，令 ‎ 即：‎ ‎ 又， ‎ 即：‎ ‎ ，， 在上递增 ‎ ，即：，得证. ‎ ‎ 22.(本小题满分10分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.‎ ‎ 【试题解析】 （1）联立，，，， 交点坐标.‎ ‎ （2）设，且，由已知 得，点的极坐标方程为. ‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.‎ ‎【试题解析】（1）当时，‎ ‎ 当解得当恒成立. ‎ ‎ 当解得，此不等式的解集为. ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，，当单调递减，‎ ‎∴f(x)的最小值为3+m，设 ‎ 当，当且仅当时，取等号 ‎ 即时，g(x)取得最大值. ‎ ‎ 要使恒成立，只需，即. ‎