2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高一下学期开学考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解指数不等式求得集合，然后求两个集合的交集和并集，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，.由，解得，故，.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集与并集，考查指数不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】用诱导公式，将所求角的余弦值转化为之间的角的余弦值，根据特殊角的三角函数值得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )‎ A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因函数的定义域和值域分别为,故应选D．‎ ‎【考点】对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．‎ ‎4．已知向量，若向量在向量方向上的投影为，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量投影的公式列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意向量在向量方向上的投影，解得.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题注意考查向量投影的概念以及运算，考查向量数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎5．函数的图像可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依次利用函数的奇偶性以及函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以函数为奇函数，排除A,B两个选项.而 ‎，排除C选项.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知函数的解析式，判断函数的图像，考查函数的奇偶性以及特殊角的三角函数值，属于基础题.解决这类型题目的方法主要是结合函数的奇偶性、单调性以及函数图像上的特殊点，对选项进行排除.‎ ‎6．为了得到函数的图像，只要将的图像上所有点（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】首先利用诱导公式将转化为余弦函数的形式，在根据图像平移的知识得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，而，故需向左平移个单位长度，所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数诱导公式，属于基础题.‎ ‎7．如图，点在圆上，则的值（ ）‎ A．只与圆的半径有关 B．只与弦的长度有关 C．既与圆的半径有关，又与弦的长度有关 D．与圆的半径和弦的长度均无关 ‎【答案】B ‎【解析】过作出弦的垂直平分线，然后利用数量积模的运算，结合解直角三角形，求得的值的表达式，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 过作交于，图像如下图所示.故 ，故只与弦的长度有关.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，考查余弦值的计算，属于中档题.‎ ‎8．已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵，又在区间上为增函数，∴，∴，∴，∴不等式的解集为，故选C ‎【考点】本题考查了函数性质的运用 点评：熟练掌握函数的性质及对数不等式的解法是解决此类问题的关键，属基础题 ‎9．设函数的最大值为，最小值为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简函数的解析式，然后根据解析式的性质，求得最大值和最小值的和.‎ ‎【详解】‎ 依题意，由于为奇函数，图像关于原点对称，故函数的最大值与最小值的和为，所以的最大值与最小值的和为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查式子的变形，考查函数的最大值与最小值，属于基础题.‎ ‎10．设为正数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将题目所给指数式转化为对数式的形式，求得的表达式，进而求得的表达式，由此比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 设，故，所以，，，由于，，故，故；.故，故.综上所述，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数式和对数式互化，考查指数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.‎ ‎11．已知函数和的图像如图所示，若关于的方程和的实数根的个数分别为和，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别求得和的实数根的个数，相加后得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据函数的图像，由，得或.当时，由的图像可知有三个解，即有三个根.当时，由的图像可知有三个解，即有三个根.故有个根，即.由，结合图像可知，有三个零点.当时，由图像知此时有个零点；当时，由图知此时有个零点；当时，由的图像知此时有个零点.故有个根.故，所以本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的图像与性质，考查函数零点的个数判断，属于中档题.对于复合函数零点问题，首先根据函数值，确定好对应内部函数的函数值，再根据内部函数的函数值，确定出相应自变量的值.在转化过程中，要注意看准对应的函数图像.‎ ‎12．已知定函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据函数的解析式判断出当时函数的周期，将转化为的函数，由此求得相应的函数值.‎ ‎【详解】‎ 当时， ‎ ‎ ，故当时，函数的周期为，所以 .故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的性质，考查函数的周期性，考查对数的知识，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据同角三角函数关系式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 根据同角三角函数关系式得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题，要注意有两个解.‎ ‎14．设函数的一个零点为，且在区间上单调，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用函数的零点求得的表达式，利用单调性确定具体的值.‎ ‎【详解】‎ 由于是函数的零点，故，即，.由，得，由得，故解得，取，，而，当即时符合题意.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的零点，考查三角函数的单调区间的求法，属于中档题.‎ ‎15．在中，点在上，平分，若，则用作为一组基底表示的结果为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据角平分线定理得到，在根据向量加法和减法的运算求得的表达式.‎ ‎【详解】‎ 根据角平分线定理可知，故 ，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查角平分线定理的应用，考查利用基地表示向量，考查平面向量加法和减法的运算，有较强的综合性，属于中档题.角平分线定理是：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.角平分线的另一个定理是：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.‎ ‎16．定义在上的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数且在上至少有个零点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用赋值法求得的值，然后判断出函数的周期和性质，由此画出函数的图像，根据和图像的交点个数，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 根据函数为偶函数，令得，即，故函数是周期为的周期函数.根据偶函数图像关于轴对称，画出函数的图像如下图所示：‎ 当时，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像没有交点，不符合题意.‎ 当时，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有至少有个交点，则需，即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抽象函数的性质，考查函数的奇偶性，考查对数函数的图像与性质，考查二次函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题过程中首先利用赋值法求得函数的周期，由此可根据函数为偶函数画出函数图像，结合题意求得参数的取值范围.‎ ‎17．已知向量满足，，且.‎ ‎（Ⅰ）求用表示的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，求向量与的夹角的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）且且；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】（I）对两边平方，化简后可求得的表达式.（II）当向量与的夹角是锐角时，，即，，再排除同向时的值，可求得的的取值范围.（III）利用配方法，结合二次函数的性质，求得的最小值，从而求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由已知，得：，即 ‎ ，又，‎ ‎，即.‎ ‎（Ⅱ）当向量与的夹角是锐角时，，由（Ⅰ）可知.‎ 又当向量与同向时，，由（Ⅰ）可知.‎ 当向量与的夹角是锐角时，的取值范围是且且.‎ ‎（Ⅲ）设向量与的夹角是，‎ 则 ，‎ 当，即时，有最小值，‎ 又且在上单调递减，‎ 此时有最大值为，即向量与的夹角的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量的运算，考查两个向量夹角为锐角时参数的取值范围的求法，考查二次函数型函数求最值的方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎18．已知函数的部分图像如图所示. ‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）函数的图像是由的图像上所有点向右平移个单位长度得到的，试判断函数在上的单调性.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎【解析】（I）根据函数图像两个零点求得函数周期，由此求得的值，代入一个特殊点求得的值.（II）将图像向右平移个单位后求得的解析式，利用正弦函数的单调性求得在上的单调性.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由已知 ，即 .‎ 又的图像过点，代入得，解得，‎ 又 .‎ ‎（Ⅱ）由已知，令，‎ 解得，即函数的单调递增区间是 同理可得的单调递减区间是，又，‎ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查由三角函数的图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调性的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 求解的过程中，首先利用图像上的最高点求得的值，要注意值的正负.‎ 第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得的值，第三根据图像上一个点的坐标求得的值.‎ ‎19．已知二次函数的图像过点，且最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）函数在上的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）根据的对称性求得对称轴，设出二次函数的顶点式，将代入求得二次函数的解析式.（II）先求得的解析式和对称轴，根据题目给定区间结合函数的对称轴，对进行分类讨论，研究函数的最小值，由此求得实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得：对称轴，设，又的图像过点，代入得，解得，即.‎ ‎（Ⅱ）由已知，对称轴为直线，开口向上，分两种情况：‎ ‎①当时，函数在区间单调递增，，得到，与矛盾.‎ ‎②当时，函数在区间单调递减，在区间单调递增，从而，得到或舍掉与矛盾；综上所述：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二次函数解析式的求法，考查二次函数最小值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量且.‎ ‎（Ⅰ）若，求向量的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求的值域.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）先求得，利用两个向量平行的坐标表示列方程，结合解方程组求得的值，进而求得的坐标.（II）由（I）得到，化简的表达式，配方后利用，结合二次函数的性质，求得的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），又 ①‎ 又②由①②得，.‎ 当时，（舍去）；当时，，‎ ‎，即.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ‎ ‎ ，‎ 又当时，；当时，.‎ 的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量的减法，考查两个向量平行的坐标表示，考查二次函数型函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）判断并证明的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在和上单调递增；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）先求得函数的定义域，然后判断出函数为奇函数.任取，通过计算的值，判断出函数在上递增，根据奇偶性判断出函数在上也是递增.（II）先求得的表达式，判断出的奇偶性，结合（I）求得的单调区间，将不等式转化为，然后根据的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，由 是奇函数；‎ 任取，则 ‎ ‎ 即，‎ 在上单调递增；‎ 又由（Ⅰ）知，是上的奇函数，在上单调递增；‎ 在和上单调递增.‎ ‎（Ⅱ），由 是奇函数；‎ 又由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递增，‎ 等价于，可得：‎ ‎，解得：‎ 不等式的解集是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用定义法求函数的单调区间，考查不等式的解法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数是偶函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）利用列式，化简后可求得的值.（II）将恒成立转化为恒成立，分离常数，即恒成立，求得 的最大值后，得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由函数的偶函数可知 ，‎ 即，对一切恒成立，.‎ ‎（Ⅱ）对任意的，都有恒成立，‎ 等价于对任意的恒成立，即恒成立，‎ 由得，即，‎ 令，则，且恒成立，‎ 只需.‎ 而在上单调递减，从而，‎ 实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用函数的奇偶性求解函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题.‎