2020年高中数学第四章导数的运算法则

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2020年高中数学第四章导数的运算法则

‎4.2.3 导数的运算法则 一、基础达标 ‎1.设y=-2exsin x,则y′等于 ‎(  )‎ A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x)‎ 答案 D 解析 y′=-2(exsin x+excos x)=-2ex(sin x+cos x).‎ ‎2.当函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0时,那么x0=‎ ‎(  )‎ A.a B.±a C.-a D.a2‎ 答案 B 解析 y′=′==,‎ 由x-a2=0得x0=±a.‎ ‎3.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于 ‎(  )‎ A.2 B. C.- D.-2‎ 答案 D 解析 ∵y==1+,‎ ‎∴y′=-.∴y′|x=3=-.‎ ‎∴-a=2,即a=-2.‎ ‎4.已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为 ‎(  )‎ A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)‎ C.(2,8) D. 答案 B 解析 y′=3x2,∵k=3,∴3x2=3,∴x=±1,‎ 则P点坐标为(-1,-1)或(1,1).‎ 4‎ ‎5.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为________.‎ 答案 4‎ 解析 依题意得f′(x)=g′(x)+2x,‎ f′(1)=g′(1)+2=4.‎ ‎6.已知f(x)=x3+3xf′(0),则f′(1)=________.‎ 答案 1‎ 解析 由于f′(0)是一常数,所以f′(x)=x2+‎3f′(0),‎ 令x=0,则f′(0)=0,‎ ‎∴f′(1)=12+‎3f′(0)=1.‎ ‎7.求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=(2x2+3)(3x-1);‎ ‎(2)y=x-sin cos .‎ 解 (1)法一 y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′=4x(3x-1)+‎ ‎3(2x2+3)=18x2-4x+9.‎ 法二 ∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,‎ ‎∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.‎ ‎(2)∵y=x-sin cos =x-sin x,‎ ‎∴y′=x′-′=1-cos x.‎ 二、能力提升 ‎8.曲线y=-在点M处的切线的斜率为 ‎(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 B 解析 y′==,‎ 故y′|=,‎ ‎∴曲线在点M处的切线的斜率为.‎ 4‎ ‎9.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 ‎(  )‎ A.[0,) B.[,)‎ C.(,] D.[,π)‎ 答案 D 解析 y′=-=-,设t=ex∈(0,+∞),则y′‎ ‎=-=-,∵t+≥2,∴y′∈[-1,0),α∈[,π).‎ ‎10.(2013·江西)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=________.‎ 答案 2‎ 解析 令t=ex,则x=ln t,所以函数为f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x,所以f′(x)=+1,即f′(1)=+1=2.‎ ‎11.求过点(2,0)且与曲线y=x3相切的直线方程.‎ 解 点(2,0)不在曲线y=x3上,可令切点坐标为(x0,x).由题意,所求直线方程的斜率k==y′|x=x0=3x,即=3x,解得x0=0或x0=3.‎ 当x0=0时,得切点坐标是(0,0),斜率k=0,则所求直线方程是y=0;‎ 当x0=3时,得切点坐标是(3,27),斜率k=27,‎ 则所求直线方程是y-27=27(x-3),‎ 即27x-y-54=0.‎ 综上,所求的直线方程为y=0或27x-y-54=0.‎ ‎12.已知曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f(x)的切线,求曲线的切线方程.‎ 解 设切点为(x0,y0),‎ 则由导数定义得切线的斜率k=f′(x0)=3x-3,‎ ‎∴切线方程为y=(3x-3)x+16,‎ 又切点(x0,y0)在切线上,‎ ‎∴y0=3(x-1)x0+16,‎ 即x-3x0=3(x-1)x0+16,‎ 解得x0=-2,‎ ‎∴切线方程为9x-y+16=0.‎ 4‎ 三、探究与创新 ‎13.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.‎ ‎(1)解 由7x-4y-12=0得y=x-3.‎ 当x=2时,y=,∴f(2)=,‎ ‎①‎ 又f′(x)=a+,‎ ‎∴f′(2)=,‎ ‎②‎ 由①,②得 解之得 故f(x)=x-.‎ ‎(2)证明 设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知 曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x-x0),‎ 即y-=(x-x0).‎ 令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.‎ 令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).‎ 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为=6.‎ 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6. ‎ 4‎
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