2020高中数学 第三章空间向量的数量积运算

2020高中数学 第三章空间向量的数量积运算

‎3.1.3　‎空间向量的数量积运算 学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．空间向量的夹角 ‎(1)夹角的定义 图3115‎ 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．‎ ‎(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b.‎ ‎2．空间向量的数量积 ‎(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉‎ ‎(2)数量积的运算律：‎ 数乘向量与数量积的结合律 ‎(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)‎ 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c ‎(3)空间两向量的数量积的性质：‎ 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0‎ 共线 同向：则a·b＝|a|·|b|‎ 反向：则a·b＝－|a|·|b|‎ 模 a· a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2‎ ‎|a|＝ ‎|a·b|≤|a|·|b|‎ 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？‎ 11‎ ‎(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？‎ ‎[提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0‎ ‎(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)在△ABC中，〈，〉＝∠B．(　　)‎ ‎(2)在正方体ABCDA′B′C′D′中，与的夹角为45°.(　　)‎ ‎(3)0·a＝0.(　　)‎ ‎(4)若a·b<0，则〈a，b〉为钝角．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于(　　)‎ A．30° B．60°　　C．90°　　D．120°‎ D　[△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°.]‎ ‎3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________. ‎ ‎【导学号：46342138】‎ π　[cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ 所以〈a，b〉＝π.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 空间向量的数量积运算 ‎　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)‎ A．1　 B．‎2　‎　　C．3　　　D．4‎ ‎(2)如图3116所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：‎ 11‎ 图3116‎ ‎(1)·；‎ ‎(2)·；‎ ‎(3)·；‎ ‎(4)·.‎ ‎[解析]　(1)由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1‎ 所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.‎ ‎[答案]　A ‎(2)·＝· ‎＝||||cos〈，〉‎ ‎＝cos 60°＝.‎ ‎(2)·＝·＝||2＝.‎ ‎(3)EF·＝·＝－·＝－×cos 60°＝－.‎ ‎(4)·＝·(－)‎ ‎＝·－· ‎＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.‎ ‎[规律方法]　在几何体中求空间向量的数量积的步骤 ‎(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.‎ ‎(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.‎ ‎(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.‎ ‎(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________. ‎ ‎【导学号：46342139】‎ a2　[·＝· 11‎ ‎＝·＋·＝a2cos 60°＝a2.]‎ ‎(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.‎ 　[＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋[(－)＋(－)]‎ ‎＝＋＋ ‎∴·(＋＋)＝·(＋＋)‎ ‎＝2＋2＋2‎ ‎＝×22＋×32＋×12＝.]‎ 利用数量积证明空间的垂直关系 ‎　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．‎ ‎[解]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，‎ 又设＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|.‎ 又＝(＋)‎ ‎＝ ‎＝(a＋b＋c)，＝c－b.‎ ‎∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)‎ 11‎ ‎＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)‎ ‎＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.‎ ‎∴⊥，即OG⊥BC．‎ ‎[规律方法]　用向量法证明垂直关系的步骤 ‎(1)把几何问题转化为向量问题．‎ ‎(2)用已知向量表示所证向量．‎ ‎(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.‎ ‎(4)将向量问题回归到几何问题．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．如图3117，已知正方体ABCDA′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：‎ 图3117‎ ‎(1)AO⊥CD′；‎ ‎(2)AC′⊥平面B′CD′.‎ ‎[证明]　(1)因为＝＋＝＋(＋)，‎ 因为＝－，‎ 所以· ‎＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，所以⊥，故AO⊥CD′.‎ ‎(2)因为·＝(＋＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋·＋·＋·，‎ 可知·＝0，·＝0，‎ 11‎ ·＝0，·＝||2，‎ ·＝－||2，·＝0，‎ 所以·＝||2－||2＝0，‎ 所以⊥，所以AC′⊥B′C．‎ 同理可证，AC′⊥B′D′.‎ 又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.‎ 利用数量积求夹角 ‎　如图3118，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值. ‎ ‎【导学号：46342140】‎ 图3118‎ ‎[思路探究]　求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．‎ ‎[解]　∵＝－，∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.‎ ‎[规律方法]　利用向量数量积求夹角问题的思路 11‎ ‎1．求两个向量的夹角有两种方法：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．‎ ‎2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：‎ ‎①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；‎ ‎②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；‎ ‎③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；‎ ‎④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.如图3119，已知直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．‎ 图3119‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a.‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0，‎ ‎∴⊥，即CE⊥A′D．‎ ‎(2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|，‎ ‎∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 11‎ ‎∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎ 利用数量积求距离 ‎[探究问题]‎ ‎1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈，〉的值是多少？‎ 提示：〈，〉＝60°或120°‎ ‎2．如图3120，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．‎ 图3120‎ 提示：∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·BC＋2·CD＋2·＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，‎ ‎∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.‎ ‎　如图3121所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．‎ 图3121‎ ‎[思路探究]　→→ ‎[解]　∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．‎ ‎∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||‎ 11‎ ‎2＝2，此时B，D间的距离为.‎ ‎[规律方法]　1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．‎ ‎2．用数量积求两点间距离的步骤：‎ ‎(1)用向量表示此距离；‎ ‎(2)用其他向量表示此向量；‎ ‎(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；‎ ‎(4)|a|即为所求距离．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎4.如图3122所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．‎ 图3122‎ ‎[解]　＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋[(－)＋(－)]‎ ‎＝－＋＋，‎ 所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.‎ ‎∴||＝，即E，F间的距离为.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　)‎ A．－6　　　　　　　 B．6‎ C．3 D．－3‎ B　[由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，‎ ‎|e1|＝|e2|＝1，‎ 11‎ ‎∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，‎ ‎∴2k－12＝0，∴k＝6.]‎ ‎2．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，有下列命题：‎ ‎①(＋＋)2＝32；‎ ‎②·(－)＝0；‎ ‎③与的夹角为60°.‎ 其中真命题的个数为(　　) ‎ ‎【导学号：46342141】‎ A．1　 B．‎2　‎　　C．3　　　D．0‎ B　[对于①，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正确；‎ 对于②，·(－)＝·＝0，故②正确．‎ 对于③，〈，〉＝120°，故③错．]‎ ‎3．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)‎ A． B． C．－　　　　D．0‎ D　[·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－|||O|＝0，‎ ‎∴⊥，∴cos〈，〉＝0.]‎ ‎4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.‎ ‎0　[原式＝·＋·＋·(－)＝·(－)＋·(＋)‎ ‎＝·＋·＝0.]‎ ‎5．如图3123，三棱柱ABCA1B‎1C1中，M，N分别是A1B，B‎1C1上的点，且BM＝‎2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝C．‎ 11‎ 图3123‎ ‎(1)试用a，b，c表示向量；‎ ‎(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长. ‎ ‎【导学号：46342142】‎ ‎[解]　(1)＝＋＋ ‎＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)‎ ‎＝a＋b＋C．‎ ‎(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋‎2a·b＋2b·c＋‎2a·c ‎＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，‎ ‎∴|a＋b＋c|＝，‎ ‎∴||＝|a＋b＋c|＝，‎ 即MN＝.‎ 11‎