2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)

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2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)

‎2019学年度第三学段高一年级模块考试试卷 数学必修V 一、选择题(本大题共14小题,每小题4分,共56分.请将答案填涂在机读卡上)‎ ‎1.等差数列中,已知,,则().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的首项为,公差为,‎ 则由,,得,‎ 解得,,‎ 所以.‎ 故选.‎ ‎2.等差数列的前项和为,,则等于().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质可知,‎ ‎,‎ 所以,.‎ 故选.‎ ‎3.设是公比为正数的等比数列,若,,则数列的前项和为().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为,,‎ 则,解得,‎ ‎∴数列的前项和.‎ 故选.‎ ‎4.若,,则下列不等式恒成立的().‎ - 14 -‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】项,当,时,,故错误;‎ 项,当,时,,故错误;‎ 项,因为函数是定义域上的增函数,所以当时,,故正确;‎ 项,因为,所以,此时无意义,故错误.‎ 故选.‎ ‎5.设向量,不共线,,,,若,,三点共线,则实数的值为().‎ ‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎【答案】C ‎【解析】∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∵,,三点共线,‎ ‎∴与共线,‎ ‎∴,化简得,即,‎ ‎∴或.‎ 故选.‎ ‎6.已知,,,四个实数成等差数列,,,,,五个实数成等比数列,则的值等于().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则有 ‎,解得,,‎ - 14 -‎ ‎∴.‎ 故选.‎ ‎7.设,,向量,,且,,则().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵,,且,‎ ‎∴,解得,‎ 又∵,,且,‎ ‎∴,解得 ‎∴,,,‎ ‎∴.‎ 故选.‎ ‎8.在中,角,,所对边分别为,,,已知,,,则向量在向量上的投影为().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,在上的投影为.‎ 故选.‎ ‎9.单位向量,的夹角为,则向量与向量的夹角的余弦值为().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵,是单位向量,且,的夹角为,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ - 14 -‎ ‎∴.‎ 故选.‎ ‎10.已知等差数列中,,公差,则使其前项和取得最大值的自然数是().‎ ‎ A.或 B.或 C.或 D.不存在 ‎【答案】B ‎【解析】∵在等差数列中,,公差,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴,,‎ ‎∴使其前项和取得最大值的自然数是或.‎ 故选.‎ ‎11.在游学活动中,同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔,为了估算塔高,某同学在塔的正东方向选择某点处观察塔顶,其仰角约为,然后沿南偏西方向走了大约米来到处,在处观察塔顶其仰角约为,由此可以估算出雷峰塔的高度为().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意,建立数学模型,如图所示,‎ 其中,,,‎ - 14 -‎ 设塔高为,则,,‎ 在中,由余弦定理得:‎ ‎,即,‎ 化简得,即,‎ 解得,即雷峰塔的高度为.‎ 故选.‎ ‎12.如图,在中,,,是的中点,则().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵是边的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选.‎ ‎13.已知向量,,,设是直线上任意一点(为坐标原点),则的最小值是().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵是直线上任意一点,‎ ‎∴设,,‎ 则,,‎ ‎∴,‎ ‎∴的最小值为.‎ - 14 -‎ 故选.‎ ‎14.中,已知,,,为线段的中点,且,则的值为().‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中,,‎ ‎∴,‎ 即,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即为直角三角形,‎ 以为原点,为轴,为轴建立如图直角坐标系,‎ 设,,‎ 则,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,解得,‎ 又∵,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴,,‎ 又是中点,‎ - 14 -‎ ‎∴,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,,‎ ‎∴.‎ 故选.‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请将答案填写在题目中的横线上)‎ ‎15.已知数列满足,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴,即,‎ 又,‎ ‎∴数列是以为首项,为公差的等差数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 故.‎ ‎16.已知数列的前项和为,则其通项公式__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵已知数列的前项和,‎ ‎∴当时,,‎ 当时,,‎ - 14 -‎ 经检验,时,不满足上述式子,‎ 故数列的通项公式.‎ ‎17.数列中,,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵在数列中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,,,,‎ ‎∴.‎ ‎18.已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵向量与的夹角为,且,,‎ ‎∴,‎ 又,且,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,即,‎ 故.‎ ‎19.设两个向量,满足,,、的夹角为,若向量与的夹角为钝角,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵向量,满足,,,的夹角为,‎ - 14 -‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 令即,解得,‎ 令,即,解得,‎ ‎∴当时,向量与共线,‎ ‎∴若向量与向量的夹角为锐角,则,且,‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎20.对于实数,用表示不超过的最大整数,如,,若,,为数列的前项和,则__________;__________.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】∵,,,,,,‎ ‎,,,,,,‎ ‎,,,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎.‎ 三、解答题(本大题共5小题,满分共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎21.(本题满分分)‎ - 14 -‎ 在游学活动中,在处参观的第组同学通知在处参观的第组同学:第组正离开处向的东南方向游玩,速度约为米/分钟.已知在的南偏西方向且相距米,第组同学立即出发沿直线行进并用分钟与第组同学汇合.‎ ‎()设第组同学行进的方位角为,求.‎ ‎(方位角:从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)‎ ‎()求第组同学的行进速度为多少?‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎()假设第组同学与第组同学在处汇合,如图,建立数学模型,‎ 则,米,‎ ‎∴,是等腰三角形,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎.‎ ‎()在中,由余弦定理可得:‎ ‎.‎ ‎∴,‎ 故第组同学的行进速度为米/分钟.‎ ‎22.(本题满分分)‎ 在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且,.‎ ‎()求与.‎ ‎()证明:.‎ - 14 -‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】解:()设等差数列的公差为,则由,得:‎ ‎,解得(舍去)或,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎(2)证明:∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∵,‎ ‎∴,从而,‎ ‎∴,‎ 即.‎ ‎23.(本题满分分)‎ 已知数列的前项和.‎ ‎()证明数列为等差数列,求出数列的通项公式.‎ ‎()若不等式对任意恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】解:()当时,得,‎ 当时,,‎ ‎,‎ - 14 -‎ 两式相减得,即,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴数列是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎()由()知,即,‎ ‎∵,‎ ‎∴不等式等价于,‎ 记,‎ 时,,‎ ‎∴当时,,,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴的取值范围是:.‎ ‎24.(本题满分分)‎ 数列的前项和为,.‎ ‎()证明数列是等比数列,求出数列的通项公式.‎ ‎()设,求数列的前项和.‎ ‎()数列中是否存在三项,它们可以构成等比数列?若存在,求出一组符合条件的项;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】解:()数列的前项和为,,,‎ ‎∴,‎ 两式相减得:,即,‎ - 14 -‎ ‎∴,即,‎ 又当时,,得,‎ ‎∴数列是以为首项,为公比的等比数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎()由题意,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ 两式相减得 ‎.‎ ‎()假设存在,,,且,使得,,成等比数列,则,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵是奇数,,也是奇数,‎ ‎∴是奇数,‎ 又是偶数,‎ 故不成立,‎ 故数列中不存在三项,可以构成等比数列.‎ ‎25.(本题满分分)‎ 设数列的前项和为,若对于任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.‎ - 14 -‎ ‎()若数列的前项和为,证明:是“数列”.‎ ‎()设是等差数列,其首项,公差,若是“数列”,求的值.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】解:()证明:当时,,‎ 当时,,‎ ‎∴,‎ ‎∴对任意的,是数列中的第项,‎ ‎∴数列是“数列”.‎ ‎()依题意,,,‎ 若是“数列”,则对任意的,都存在使得,‎ 即,‎ ‎∴,‎ 又∵,,‎ ‎∴对任意的,且,‎ ‎∴.‎ - 14 -‎
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