【数学】四川省宜宾市第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

【数学】四川省宜宾市第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

四川省宜宾市第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学试题（文）‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合,,则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数z满足，则 （ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3．某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则 （ ）‎ A．96 B．72 C．48 D．36‎ ‎4．已知向量，的夹角为，且，，则 （ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 （ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎6．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为 （ ）‎ A． B．1 C．2 D．0‎ ‎7．已知l，m为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中真命题的是 （ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎8．已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎9．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎10．某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球的球面上,则球的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数在区间上的零点个数为 （ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知直线：，：，且，则k的值______.‎ ‎14．不等式在区间上的解集为__________．‎ ‎15．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为_____.‎ ‎16．已知函数（）为奇函数，，若函数与图像的交点为，，…，，则=________.‎ 三、解答题三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎18．（12分）某大型科学竞技真人秀节目挑选选手的方式为：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”．已知男生入围24人，女生未入围80人．‎ ‎（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；‎ 性别 入围人数 未入围人数 总计 男生 女生 总计 ‎（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，求这11名学生中男、女生人数；若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），分别求这11名学生中女生测试分数平均分的最小值．‎ 附：，其中．‎ ‎19．（12分）如图，已知四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，是的中点，点在上，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎20．（12分）已知定点S( -2，0) ，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，说明理由.‎ ‎21．（12分）已知函数，.‎ ‎（1）求的极值； ‎ ‎（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为y=kx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线C与直线l交于A、B两点，若，求k的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B ‎11．B 12．C ‎13． 14． 15．或 16．3m ‎17．解：（1）由正弦定理得：‎ ‎ ，又 ‎ ‎，即；由得：‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ 又（当且仅当时取等号） ‎ 即三角形面积的最大值为：‎ ‎18. 解：（1）填写列联表如下： ‎ 性别 入围人数 未入围人数 总计 男生 ‎24‎ ‎76‎ ‎100‎ 女生 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ 总计 ‎44‎ ‎156‎ ‎200‎ 的观测值 所以没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关． ‎ ‎（2）在这11名学生中，被抽到的女生人数为（人），被抽到的男生人数为（人）或（人）.因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数．所以这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值为.‎ ‎19．解：（1）如图所示：过作于，连结，‎ 因为，，是的中点，‎ 所以，所以，∵底面是正方形，，即，‎ ‎∴是矩形，∴，又，，∴面，又∵面，∴.‎ ‎（2）由（1）知，平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ ‎∵底面是正方形，侧面底面，∴侧面，∴，‎ 在三棱锥中，设点到平面的距离为，由于，‎ ‎∴，在侧面中，，，是中点，∴，，∴，‎ ‎∴，即点到平面的距离为.‎ ‎20．（1）设，由已知有， 整理得动点P的轨迹E的方程为 ‎（2）由（1）知，的方程为，所以又，所以直线的斜率，假设存在直线，使得是的垂心，则.设的斜率为，则，所以.设的方程为，.由，‎ 得， ‎ 由，得，.‎ 因为，所以，因为，‎ 所以，即，‎ 整理得，‎ 所以，‎ 整理得，解得或，‎ 当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；当时，满足，‎ 所以存在直线：，使得是的垂心.‎ ‎21．解：（1）的定义域为，，‎ 当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，‎ 当时，，所以无极值，‎ 当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.‎ ‎（2）设，即，‎ ‎.‎ ‎①若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，至多有两个零点.‎ ‎②若，则，（仅）.单调递增，至多有一个零点.‎ ‎③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.‎ 由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.‎ ‎④若，则.当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，‎ 由，得，由及，得，‎ ‎.‎ 并且，当时，，，‎ ‎，.‎ 综上，使有三个零点的的取值范围为.‎ ‎22．解：（1），所以曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（2）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，‎ 代入曲线得设所对应的极径分别为.‎ ‎，‎ ‎， 满足，‎ 或的倾斜角为或，则或．‎ ‎23．解：（1）由柯西不等式得．‎ ‎∴，当且仅当时取等号．∴；‎ ‎（2），‎ 要使得不等式恒成立，即可转化为，‎ 当时，，可得，当时，，可得，‎ 当时，，可得，∴的取值范围为：．‎