数学卷·2018届北京市海淀区高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届北京市海淀区高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）‎ 第一部分（选择题，共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 若集合，，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为集合，,所以,故选C.‎ ‎2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于A,,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A.‎ ‎3. 已知向量，，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量错误；错误；错误；， 正确，故选D.‎ ‎4. 已知数列满足，则 ‎ ‎（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件得到：可设， ，故两式做差得到：，故数列的每一项都为0，故D是正确的。A，B，C，都是不正确的。‎ 故答案为D。‎ ‎5. 将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象,所求函数的解析式为，故选B.‎ ‎6. 设，则“是第一象限角”是“”的 （ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】充分性：若是第一象限角，则, ,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；‎ 对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎ ‎ ‎7. 设（），则下列说法不正确的是 （ ）‎ A. 为上偶函数 B. 为的一个周期 C. 为的一个极小值点 D. 在区间上单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，，为上偶函数，A正确；对于B,,为的一个周期,B正确；对于C，), ，,为的一个极小值点,C正确，综上，符合题意的选项为D,故选D.‎ ‎8. 已知非空集合满足以下两个条件：‎ ‎（ⅰ），；‎ ‎（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，‎ 则有序集合对的个数为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，有，若集合中只有个元素，则，即，此时有，，同理，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，有，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，不满足条件，所以满足条件的有序集合对的个数为 ，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查集合的交集、并集及集合与元素的关系、分类讨论思想的应用. 属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方 法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎ 第二部分（非选择题，共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9. 定积分的值等于________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】，故答案为.‎ ‎10. 设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为，已知在海拔1000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2000 m处的大气压强为________ kPa．‎ ‎【答案】81‎ ‎【解析】将 代入， ，可得 ，与的函数关系可近似表示为 ，当 时， ，故答案为 .‎ ‎11. 能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为，故 ， 等号成立的条件为 ，故当 时函数值等于3.此时不满足题干。‎ 故答案为2 。‎ 点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。‎ ‎12. 已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则 ‎① ________；‎ ‎② 若，则________．‎ ‎【答案】 (1). （1） (2). （2）‎ ‎【解析】,,‎ ‎,, ,，故答案为（1）；(2).‎ ‎13. 已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则________，________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由图知函数的周期是，又知，，时，，故答案为(1)；(2).‎ ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，可以先求出的所有的值，再根据题设中的条件，取特殊值即可.‎ ‎14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．‎ ‎① ________； ‎ ‎② 若的值域是，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】 (1). （1） (2). （2）‎ ‎【解析】函数是定义在上的奇函数,，时，，时，，时，时，；时，，值域为，‎ ‎，得，，值域为，，时可得值域为，或，取值的范围是，故答案为（1）；（2）.‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。‎ ‎15. 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1)1（2）时，有最大值，时，有最小值 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接将 代入函数解析式可得 ；（Ⅱ）根据两角和的正弦公式及二倍角公式可得，求出的范围，结合正弦函数的单调性求解即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为， 所以 ‎ ‎ 所以 故 ‎ ‎ 当即时，有最大值 当即时，有最小值 ‎16. 已知是等比数列，满足，，数列满足，且是 公差为2的等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) ，（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据，，列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式，进而可得的通项公式；（Ⅱ）因为，可以通过分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可求得数列的前项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，则 ‎ ‎ 解得， ‎ 所以， ‎ ‎ 令，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ） .‎ ‎【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等差数列等比数列的求和公式以及分组求和，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎17. 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值．（其中是自然对数的底数）‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，可得切线斜率为 ，再求出的值，利用点斜式即可求出再 处的切线方程；（Ⅱ）对分三种情况讨论：，，，分别利用导数研究函数的单调性，从而可求得函数在区间上的最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，，， ‎ 此时，，， ‎ 故曲线在点处的切线方程为． ‎ ‎（Ⅱ）的定义域为 ‎ ‎ ‎ 令得，或 ‎ ‎ 当时，‎ 对任意的，，在上单调递增 ‎ ‎ ‎ ‎ ② 当时 ‎0‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ ‎ 当时，‎ 对任意的，，在上单调递减 ‎ ‎ ‎ 由①、②、③可知，‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数求函数的最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎18. 如图，在四边形中， ，且为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求和的长.‎ ‎【答案】(1) （2）， ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由，可得，利用两角差的余弦公式可求得的值；（Ⅱ），，在和中由余弦定理得 ，解方程组即可的结果.全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ 试题解析：（Ⅰ）因为， ‎ ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得 ‎ ‎ 代入得 ‎ ‎ 解得或（舍）‎ 即，‎ ‎19. 已知函数（），（） ‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：1是的唯一极小值点；‎ ‎（Ⅲ）若存在，，满足，求的取值范围.（只需写出结论）‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间为，的单调递减区间为 （2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出， 求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先求得（），可得，又可证明在定义域内递增，即可证明 是g(x)的唯一极小值点；（Ⅲ）令两函数的值域有交集即可.‎ 试题解析：：（Ⅰ） 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 令，得 ‎ 因为，所以 ‎ 当变化时，，的变化情况如下：‎ 极大值 ‎ 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 （Ⅱ）证明： ‎ ‎（）， ‎ 设，则 ‎ 故在是单调递增函数， ‎ 又，故方程只有唯一实根 ‎ 当变化时，，的变化情况如下：‎ ‎1‎ 极小值 故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点. ‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎20. 若数列：，，…，（）中（）且对任意的 恒成立，则称数列为“数列”．‎ ‎（Ⅰ）若数列，，，为“数列”，写出所有可能的，；‎ ‎（Ⅱ）若“数列”：，，…，中，，，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，…，，‎ 记，其中表示，，…，这个数中最大的数，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) ，或 （2）最大值为（3）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接根据“数列”的定义，讨论列举法即可求出，‎ ‎；（Ⅱ）可得，解得：，故，另外，任意的，，故数列为“数列”，此时，即符合题意；（Ⅲ）利用放缩法，即可得结论.‎ 试题解析：：（Ⅰ），或 ‎ ‎（Ⅱ）的最大值为，理由如下 ‎ 一方面，注意到：‎ 对任意的，令，则且（），故对任意的恒成立． ‎ ‎ 当，时，注意到，得 ‎（）‎ ‎ 此时 ‎ 即，解得：，故 另一方面，取（），则对任意的，，故数列为“数列”，此时，即符合题意． ‎ 综上，的最大值为65． ‎ ‎（Ⅲ）的最小值为，证明如下： ‎ 当（，）时，‎ ‎ 一方面：‎ ‎ 由（★）式，，‎ ‎．‎ ‎ 此时有：‎ 故 ‎ 另一方面，当，，…，，，，…，时，‎ 取，则，，，且 此时．‎ 综上，的最小值为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎