数学卷·2018届江苏省扬州市高邮中学高三10月阶段检测（2017

数学卷·2018届江苏省扬州市高邮中学高三10月阶段检测（2017

江苏省高邮中学高三年级十月份阶段测试 数学试卷（必做部分）‎ ‎2017.10‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.‎ ‎1．设是虚数单位，则复数的虚部为 ▲ ． ‎ ‎2．已知集合，若，则实数的取值范围是 ▲ . ‎ ‎3．设，则“”是“”的 ▲ 条件．（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）‎ ‎4．已知命题：“，使得 ”，则命题的真假为 ▲ ．‎ ‎5．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则实数 ▲ ． ‎ ‎6．函数的部分图象如图示，则将 的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 ▲ ．‎ ‎7．如果实数满足不等式组，则最小值为 ▲ ． ‎ ‎8．已知是边长为的正边上的动点，则 ▲ . ‎ ‎9．函数在上的单调递减区间是 ▲ ． ‎ ‎10．设函数，若的值域为，则常数的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎11．在中，为中点，，‎ 则 ▲ ． ‎ ‎12．已知，则方程的相异实根的个数是 ▲ ．‎ ‎13．已知点是椭圆的左焦点，若椭圆上存在两点、满足，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．若为正实数，则的最大值为 ▲ ． ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．‎ ‎15．（本题满分14分） ‎ 已知函数．‎ ‎⑴求的最小正周期及对称中心；‎ ‎⑵若，求的最大值和最小值.‎ ‎16．（本题满分14分） ‎ 平面内给定三个向量，，，．‎ ‎⑴求满足的实数的值；‎ ‎⑵解关于的不等式。‎ ‎17．（本题满分14分） ‎ 已知点，和圆．‎ ‎⑴当时，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎⑵过点引圆的两条割线，，直线和被圆截得的弦的中点分别为．试问过点的圆是否过定点（异于点）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．‎ ‎18．（本题满分16分） ‎ 某地方政府要将一块如图所示的直角梯形空地改建为健身娱乐广场.已知百米，百米，广场入口在上，且，根据规划，过点铺设两条相互垂直的笔直小路（小路的宽度不计），点分别在边上（包含端点），区域拟建为跳舞健身广场，区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设.‎ ‎⑴求绿化草坪面积的最大值；‎ ‎⑵现拟将两条小路进行不同风格的美化，小路的美化费用为每百米万元，小路的美化费用为每百米万元，试确定的位置，使得小路的美化总费用最低，并求出最小费用.‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 如图，椭圆的焦点在轴上,中心是坐标原点，且与椭圆的离心率相同,长轴长是长轴长的一半.为上一点,交于点,关于轴的对称点为点,过作的两条互相垂直的动弦,分别交于两点.‎ ‎⑴求椭圆的标准方程;‎ ‎⑵求点坐标;‎ ‎⑶求证:三点共线.‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ ‎⑴当时，求函数的极值；‎ ‎⑵若函数 在其定义域内有两个不同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），记为，且.‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②若不等式恒成立，求正实数的取值范围.‎ 江苏省高邮中学高三年级十月份阶段测试 数学试卷（选修部分）‎ ‎2017.10‎ ‎（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）‎ ‎21．（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：‎ ‎⑴该顾客中奖的概率；‎ ‎⑵该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足.‎ ‎⑴当时，求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎⑵若二面角的大小为，求的值.‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 已知数列中，，（，是正常数）．‎ ‎⑴当时，用数学归纳法证明（）；‎ ‎⑵是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有．‎ 高邮中学2017-2018学年度高三年级第一学期十月双周考试 ‎ 数学试卷（必做部分答案） 2017.10‎ 一、填空题：‎ ‎1、 2、 3、充分不必要 4、假 5、 6、‎ ‎7、 8、 9、 10、‎ ‎11、 12、个或个或个 13、 14、‎ 二、解答题：‎ ‎15、解：⑴ ………………4分 ‎∴的最小正周期为， ………………6分 令，则，∴的对称中心为；…………-8分 ‎⑵∵ ∴ ∴ ∴‎ ‎∴当时，的最小值为；当时，的最大值为. ………………14分 ‎16、解：解：⑴ ； ………………6分 ‎⑵由得， ………………8分 ‎ ………………10分 当，即时，不等式无解； ………………12分 当即时，‎ 不等式的解集为． ………………14分 ‎17．解：⑴若，则当斜率不存在时，，此时与圆相切；‎ 当斜率存在时，设切线为，即 所以，解得，即，所以，‎ 所以所求的直线为或； ………………6分 ‎⑵由题意知，过点的圆为以为直径的圆，圆心为，半径，‎ 所以所求的圆为，‎ 整理得，所以，（舍）‎ 过点的圆过定点． ………………14分 ‎18．解：⑴在中，，得，所以 由,‎ 在中，，得，所以 所以绿化草坪面积 ‎ …………4分 ‎，当且当，，……6分 所以绿化草坪面积的最大值为平方百米. …………8分 ‎⑵在中，，得，‎ 由,，在中，，‎ 得，所以总美化费用为 …………10分 方法一：‎ 令得列表如下 ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递减 单调递增 所以当时，即时总美化费用最低为4万元. …………16分 方法二：‎ 令得，所以，‎ 所以在上是单调递减 所以当，时，即时总美化费用最低为4万元. …………16分 答：⑴所以绿化草坪面积的最大值为平方百米.‎ ‎⑵时总美化费用最低，最低费用为4万元 ‎（不答扣1分）‎ ‎19、解：⑴由椭圆标准方程可得：长轴长是，离心率是 ‎∴椭圆,椭圆的标准方程：. …………4分 ‎⑵设,第一象限点,∴. …………6分 ‎⑶当∥轴，轴时，.‎ ‎, 三点共线. …………8分 当直线存在斜率时，可设,‎ 由得 ‎， ………12分 同理,以替换上式中的，得.……15分 故，即三点共线 . 综上：三点共线. ……16分 ‎20、解：‎ 高邮中学2017-2018学年度高三年级第一学期十月双周考试 ‎ 数学试卷（选做部分答案） 2017.10‎ ‎21、解：MN ==， ……4分 即在矩阵MN变换下， ……6分 ‎ ， ……8分 代入得：，即曲线在MN变换下的函数解析式为． ……10分 ‎22、解：⑴，即该顾客中奖的概率为. ……………4分 ‎⑵的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.‎ ‎，‎ ‎. 故有分布列：‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎…………………8分 从而期望. ………………10分 ‎23、解：⑴以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，.当时，得，‎ 所以，设平面的法向量，则，‎ 得，令，则，所以平面的一个法向量，‎ ‎，即直线与平面所成角的正弦值.……5分 ‎⑵易知平面的一个法向量.‎ 设，代入，得，‎ 解得，即，所以，‎ 设平面的法向量，则，‎ 消去，得，令，则，，‎ 所以平面的一个法向量，‎ 所以，解得或，因为，所以 ‎.……………10分