专题12+导数的应用-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

专题12+导数的应用-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

考点12 导数的应用 ‎1．导数在研究函数中的应用 ‎（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.‎ ‎（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.‎ ‎2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.‎ 一、导数与函数的单调性 一般地，在某个区间(a,b)内：‎ ‎（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;‎ ‎（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;‎ ‎（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数．‎ 注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；‎ ‎（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但 .‎ ‎（3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数f (x)在区间内的单调性.‎ 二、利用导数研究函数的极值和最值 ‎1．函数的极值 一般地，对于函数y=f (x)，‎ ‎（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.‎ ‎（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．‎ ‎（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.‎ ‎2．函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.‎ 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：‎ ‎（1）求在内的极值；‎ ‎（2）将函数的各极值与端点处的函数值， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.‎ ‎3．函数的最值与极值的关系 ‎（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； ‎（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；‎ ‎（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；‎ ‎（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.‎ 三、生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.‎ 解决优化问题的基本思路是：‎ 考向一 利用导数研究函数的单调性 ‎1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：‎ ‎（1）求f ′(x)；‎ ‎（2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号；‎ ‎（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．‎ 注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．‎ ‎2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.‎ ‎3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ‎（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；‎ ‎（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.‎ ‎4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.‎ 典例1 已知函数其中.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求的单调区间.‎ ‎①若，则.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.‎ ‎②若，则. ‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 所以的单调递增区间是，；的单调递减区间是.‎ 典例2 设函数 ‎ ‎（1）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ ‎【解析】（1）当时，，所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在，，，使得．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ 所以不可能有三个不同零点．‎ 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．‎ 故是有三个不同零点的必要条件．‎ 当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．‎ 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎1．已知函数在处的切线方程为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数，且是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．‎ 考向二 利用导数研究函数的极值和最值 ‎1．函数极值问题的常见类型及解题策略 ‎（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．‎ ‎（2）求函数极值的方法：‎ ‎①确定函数的定义域．‎ ‎②求导函数．‎ ‎③求方程的根．‎ ‎④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．‎ ‎（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.‎ ‎2．求函数f (x)在a,b]上最值的方法 ‎（1）若函数f (x)在a,b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．‎ ‎（2）若函数f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎（3）函数f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．‎ 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.‎ ‎（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.‎ ‎3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：‎ ‎（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.‎ ‎（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.‎ 典例3 （2017北京理科）已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是或 恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.‎ 典例4 已知函数.‎ ‎（1）若是函数的极值点，求实数的值，并讨论的单调性；‎ ‎（2）若是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围（注：已知常数满足）.‎ ‎【解析】（1）∵是函数的极值点，∴，得，‎ 则.‎ ‎（2），设，则，∴在上单调递增，‎ ‎∴在上单调递增. ‎ ‎∵是函数的极值点，∴是在上的唯一零点，‎ ‎∴.‎ ‎∵时，；时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴有最小值，且.‎ ‎∵恒成立，∴，∴，∴.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 故.‎ ‎2．设.‎ ‎（1）令，求的单调区间；‎ ‎（2）已知在处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ 考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系 ‎1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.‎ ‎2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.‎ 典例 5 设函数（，，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是 ‎【答案】D 对于C,由图可得，适合题意；‎ 对于D,由图可得，不适合题意，故选D.‎ ‎3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为 考向四 生活中的优化问题 ‎1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.‎ ‎2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．‎ 典例6 （2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数(其中a,b为常数)模型. ‎ ‎（1）求a,b的值；‎ ‎（2）设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.‎ ‎①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;‎ ‎②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.‎ ‎ ‎ 设在点P处的切线l交x,y轴分别于点A,B,因为函数的导数为,所以切线l的斜率为，所以切线l的方程为,由此得,. ‎ 所以. ‎ ‎ ‎ ‎4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．‎ ‎（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．‎ ‎1．设，则 A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 ‎2．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎3．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 ‎4．若直线分别与函数的图象及的图象相交于点和点，则的最小值为 A． B． C． D． ‎5．若在上有两个极值点，则的取值范围为 A． B． ‎ C． D． ‎6．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 A． B． C． D． ‎7．已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎8．已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若有极大值28，求在上的最小值. ‎ ‎9．已知函数，（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎10．已知函数有两个零点.‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）设x1，x2是的两个零点，证明：.‎ ‎1．（2017新课标全国Ⅱ理科）若是函数的极值点，则的极小值为 A． B． C． D．1‎ ‎2．（2017浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 ‎3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．1‎ ‎4．（2017浙江）已知函数f(x)=（x–）（）．‎ ‎（1）求f(x)的导函数；‎ ‎（2）求f(x)在区间上的取值范围．‎ ‎5．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎6．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知函数，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且．‎ ‎7．（2016江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.‎ ‎（1）若则仓库的容积是多少？‎ ‎（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？‎ ‎8．（2017山东理科）已知函数，，其中 是自然对数的底数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.‎ 变式拓展 ‎1．【解析】（1）∵，∴， ‎ ‎∵在处的切线方程为，∴，，‎ ‎ ‎ ‎2．【解析】（1）由 可得，‎ 则，‎ 当时，‎ 时，，函数单调递增；‎ 当时，‎ 时，，函数单调递增，‎ 时，，函数单调递减.‎ 所以当时，的单调递增区间为；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. ‎ ‎（2）由（1）知，.‎ ‎①当时，单调递增.‎ 所以当时，，单调递减.‎ 当时，，单调递增.‎ 所以在处取得极大值，合题意.‎ 综上可知，实数a的取值范围为.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】由的图象可知，在x<0时是增函数，因此其导函数在x<0时，有>0（即全部在x轴上方），因此排除A、C.‎ 从函数的图象上可以看出，在区间上，函数是增函数，>0；在区间上，函数是减函数，<0;在区间上，函数是增函数，>0，故选D. ‎ ‎4．【解析】（1）因为蓄水池侧面的总成本为元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．‎ 又由题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，‎ 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．‎ 因为r＞0，又h＞0，所以可得，‎ 故函数V(r)的定义域为(0,)．‎ ‎（2）因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．‎ 令，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．‎ 当r∈(0,5)时，，故V(r)在(0,5)上为增函数；‎ 当r∈(5,)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,)上为减函数．‎ 由此可知，在r＝5处取得最大值，此时h＝8.‎ 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．‎ 考点冲关 ‎1．【答案】B ‎【解析】因为，所以是奇函数.‎ 又，所以单调递增，故既是奇函数又是增函数.‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】因为，所以由题设在上恒成立，得，解得.故选C.‎ ‎3．【答案】D ‎ ‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】令,所以,‎ 则当时, ,则函数单调递增；‎ 当时，,函数单调递减,‎ 故当时,函数取得最小值,故选D.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】依题意，得，∴有两个不相等的实数根，，即，∴，或，故选C．‎ ‎6．【答案】D ‎【方法点睛】本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.本题的解答中根据题设条件，得出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】由题意得，当时，，则在上单调递增，‎ 又根据奇函数的性质可知，在上单调递增，那么由可得在上恒成立，‎ 分离参数得，令，求导可得，在 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，所以.故选A．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查导数的最值应用,奇函数的性质,分离参数的方法，属于中档题.本题有两种方法求解：（1）利用函数是奇函数，可将时的函数解析式求出，再用函数的单调性求解；（2）直接先求出时的单调性，再根据奇函数在对称区间上的单调性相同可得出在上单调递增，可得到在上恒成立，再利用分离参数的方法，可得到，进而利用求导的方法求出的最小值即可.此题判断出在上的单调性是解题的关键．‎ ‎8．【解析】（1）因为，所以.‎ 由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.‎ 因此在上的最小值为.‎ ‎9．【解析】（1）.‎ ‎①若，则，在上单调递增；‎ ‎②若，当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ ‎（2）当时，，即.‎ 令，则.‎ 令，则.‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 又，，‎ 所以，当时，，即，所以单调递减；‎ 当时，，即，所以单调递增，‎ 所以，所以.‎ ‎10．【解析】（1）．‎ ‎（i）设，则，只有一个零点．‎ 若，则，‎ 故当时，，因此在单调递增．‎ 又当时，所以不存在两个零点．‎ 若，则，‎ 故当时，；当时，．‎ 因此在单调递减，在单调递增．‎ 又当时，，所以不存在两个零点．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎（2）不妨设，由（1）知，，在单调递减，所以等价于，即．‎ 由于，而，‎ 所以．‎ 设，则．‎ 所以当时，，而，‎ 故当时，．‎ 从而，故．‎ 直通高考 ‎1．【答案】A ‎【解析】由题可得，‎ 因为，所以，，故，‎ 令，解得或，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的极小值为，故选A．‎ ‎【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ ‎2．【答案】D ‎ 由导函数的正负，得出原函数的单调区间．‎ ‎3．【答案】C 若，当时，函数和有一个交点，‎ 即，解得.故选C.‎ ‎【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.‎ ‎4．【解析】（1）因为，，‎ 所以．‎ ‎（2）由，解得或．‎ 因为 x ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，）‎ ‎（，）‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ f（x）‎ ‎0‎ 又，‎ 所以f（x）在区间上的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．‎ ‎5．【解析】（1）的定义域为，，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减.‎ 又，故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.‎ ‎6．【解析】（1）的定义域为．‎ 综上，．‎ ‎（2）由（1）知 ，．‎ 设，则．‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，，，‎ 所以在有唯一零点，在有唯一零点1，‎ 且当时，；当时，；当时，．‎ 因为，所以是的唯一极大值点．‎ 由得，故．‎ 由得．‎ 因为是在（0，1）的最大值点，‎ 由，得．‎ 所以．‎ ‎【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．‎ ‎7．【解析】（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.‎ 因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P−A1B1C1D1的体积 ‎ 正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积 ‎ 所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312.‎ ‎（2）设A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则0

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