2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年贵州省遵义市南白中学高一上学期第三次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知，,则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出再根据集合的基本运算求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次不等式与对数不等式的基本求解以及集合的基本运算,属于基础题型.‎ ‎2．下列函数中，值域为的函数是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据基本初等函数的值域判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对A, 的值域为,故值域为 对B, 的值域为 对C, 的值域为 对D, 的值域为 ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本初等函数的常见值域问题,属于基础题型.‎ ‎3．的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据诱导公式将角度转换成较小的角再进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了诱导公式的运用与三角函数的求值问题,属于基础题型.‎ ‎4．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，为其终边上一点，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先根据题中所给的角的终边上的一点P的坐标，利用三角函数的定义，求得其余弦值，用诱导公式将式子进行化简，求得最后的结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在角的终边上，‎ 所以，从而求得，‎ 所以，‎ 而，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导公式，正确使用公式是解题的关键.‎ ‎5．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长,进而用三角函数表示边长求出三角函数值,再利用二倍角公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1. 由图有,故 ,‎ 因为较小的锐角为,故 .故 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由图像求解三角函数值的问题,需要根据图像到三角函数的关系式再求解,属于中等题型.‎ ‎6．若函数在区间上的图象为一条连续的曲线，则下列说法正确的是 ( )‎ A．若,不存在实数使得 B．若,存在且只存在一个实数,使得 C．若,有可能存在实数,使得 D．若,有可能不存在实数,使得 ‎【答案】C ‎【解析】根据零点存在定理以及举反例的方法进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对A,令,则,但在区间上存在,故A错误.‎ 对B, 令,则,但在区间有三个零点,故B错误.‎ 对C, 令,则,且在区间上存在,故C正确.‎ 对D,由零点存在定理可知若,则一定存在实数,使得，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了零点存在定理的运用,属于基础题型.‎ ‎7．若一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（ ）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据扇形的中心角以及弦长,求出扇形的半径和弧长,利用扇形的面积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得因为扇形的中心角为2, 中心角所对的弦长为2.故扇形的半径,故扇形的弧长为.故扇形面积为 ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了扇形的相关计算,属于基础题型.‎ ‎8．下列各式中，值为的是（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二倍角公式以及同角三角函数公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 对A,‎ 对B, ‎ 对C, ‎ 对D, ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二倍角公式的运用以及同角三角函数的运算,属于基础题型.‎ ‎9．定义运算，已知，则锐角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据新定义的函数运算列出表达式,再根据三角函数公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,故,‎ 又,故.故锐角 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了新定义函数的应用以及三角函数的求角问题,属于基础题型.‎ ‎10．关于函数，下列说法错误的是 ( )‎ A．一个周期为 B．图像关于对称 C．一个零点为 D．在单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】根据余弦函数的性质进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对A, 的最小正周期为,因为,故A正确.‎ 对B,当时, ,即在对称轴处取得最值,故B正确.‎ 对C, ,故C正确.‎ 对D, 当,在此区间内余弦函数不单调递减.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦函数的性质与运算,属于基础题型.‎ ‎11．若非零实数，满足，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,再用对数表示再计算进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 设,则.‎ 故.‎ 因为,‎ ‎.故 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数与对数的互化,同时也考查了对数运算的换底公式等.属于中等题型.‎ ‎12．已知函数图象的一条对称轴为，若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．‎ ‎【详解】‎ 解：函数 的图象的一条对称轴为直线，‎ ‎，解得．‎ 当时，，‎ ‎，则和一个为，另一个为2，‎ ‎，，则，．‎ 故当时，取得最小值为．‎ 当时，同理求得，取得最小值为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用对称轴求函数的解析式，利用三角函数的最值确定结果，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知，则_________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，将代入可得原式.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用同角三角函数的中的公式化简、求值，属基础题.‎ ‎14．函数的零点个数为_________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与 的图像交点个数．于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点．‎ ‎【考点】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题．‎ ‎15．若是锐角三角形的内角，则点在第_____________象限.‎ ‎【答案】二 ‎【解析】由是锐角三角形的内角可知,‎ 再利用诱导公式分析的正负即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得,因为锐角三角形,‎ 故,故,即.‎ 又,同理.即.‎ 故点在第二象限.‎ 故答案为：二 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据三角函数的诱导公式以及单调性求三角函数值范围的问题等.属于中等题型.‎ ‎16．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：‎ ‎①当时，甲走在最前面；‎ ‎②当时，乙走在最前面；‎ ‎③当时,丁走在最前面，当时，丁走在最后面；‎ ‎④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；‎ ‎⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．‎ 其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）．‎ ‎【答案】③④⑤‎ ‎【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．‎ 解：路程fi（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：‎ ‎，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），‎ 它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．‎ 当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；‎ 当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；‎ 根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，‎ 命题③正确；‎ 指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．‎ 结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．‎ 故答案为③④⑤．‎ ‎【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．‎ 三、解答题 ‎17．在△中，，求和的值.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】利用三角形内角的关系求得与的关系,再利用与诱导公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题, ‎ 故 ‎ 是三角形内角,‎ 故.‎ 故,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形内角和的运用以及诱导公式二倍角公式的运用等.属于中等题型.‎ ‎18．（1）求值；‎ ‎（2）求值 ‎【答案】(1)2,(2)‎ ‎【解析】(1)利用辅助角公式求解即可.‎ ‎(2)观察到,故考虑先写出再对照原式进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式=. ‎ ‎（2）注意到 原式=.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了辅助角公式以及两角和的正切公式运用,属于基础题型.‎ ‎19．已知函数，将其图像向右平移个单位，再将其图像上每一点的横坐标变为原来的倍，再将每一点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图像 ‎（1）求的最小正周期和对称中心；‎ ‎（2）求在上的值域.‎ ‎【答案】(1) , ,(2).‎ ‎【解析】(1)利用三角函数的图像变换,求解得到再计算最小正周期与对称中心即可.‎ ‎(2)利用的范围得出的范围,再结合正弦函数的图像求值域即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意 ‎ 故的最小正周期, ‎ 令,解得,故的对称中心为. ‎ ‎（2）当时,, ‎ ‎,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦函数的图像变换以及根据定义域求值域的问题等.属于基础题型.‎ ‎20．设是任意的一个实数，表示对进行四舍五入后的结果，其实质是取与最接近的整数，在距离相同时，取较大的而不取较小的整数，其函数关系常用＝表示.例如：，，，.‎ ‎（1）判断函数＝（）的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）求方程的解集.‎ ‎【答案】(1) 非奇非偶函数,(2) ‎ ‎【解析】(1)举特例即可证明函数＝（）为非奇非偶函数.‎ ‎(2)根据＝的定义列出对应的不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为非奇非偶函数. ‎ 理由：,且,故为非奇非偶函数（也可举其他例子）. ‎ ‎（2）由题意,原方程等价于,解得. ‎ 即原方程的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据定义的函数性质进行列式计算,属于中等题型.‎ ‎21．现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是和（万元），它们与投入资金(万元)的关系依次是：其中与平方根成正比，且当为4（万元）时为1（万元），又与成正比，当为4（万元）时也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资．‎ ‎（Ⅰ）分别求出，与的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？‎ ‎【答案】(1),; (2)详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（I）设P，Q与x的比例系数分别是，则，根据当x为4（万元）时，P、Q为1（万元），可求出P，Q与x的函数关系式；（Ⅱ）甲投资到A，B两项目的资金分别为x（万元），（3-x）（万元）（0≤x≤3），获得利润为y万元，根据（I）可得利润函数，利用配方法可求最大利润 试题解析：（I）设P，Q与x的的比例系数分别是 ‎，且都过（4，1）‎ 所以：，‎ ‎（II）设甲投资到A,B两项目的资金分别为（万元），（）（万元），获得利润为y万元 由题意知： ‎ 所以当=1，即=1时，‎ 答：甲在A,B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元.‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用 ‎22．已知函数为奇函数.‎ ‎（1）求的值，并求的定义域；‎ ‎（2）判断函数的单调性，不需要证明；‎ ‎（3）若对于任意，是否存在实数，使得不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ,定义域为,(2) 增函数,(3) ‎ ‎【解析】(1)利用奇函数在定义域上恒成立,列式利用对数运算化简求解即可.‎ ‎(2)直接根据对数的化简以及单调性判断即可.‎ ‎(3)利用(2)中的单调性与定义域, 恒成立即 恒成立.再分,两种情况换元分析进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵函数为奇函数,在定义域内恒成立 ‎ 即,,或（此时定义域不关于原点对称，故舍去）,故, ‎ ‎,函数的定义域是 ‎ ‎（2）由（1）知,,易得在定义域是增函数. ‎ ‎（3）注意到,假设存在实数,‎ 使得不等式恒成立,‎ 即恒成立.‎ 由（1）（2）知：即对于任意, ,即 恒成立,‎ 当时上式成立；‎ 当时,令,即对任意恒成立. ‎ 参变分离有,因为,故,‎ 又函数在时单调递增,故 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判定,同时也考查了与三角函数有关的二次函数问题的最值与范围问题,属于中等题型.‎