数学卷·2017届山西省重点中学协作体高三上学期期末联考（2017

数学卷·2017届山西省重点中学协作体高三上学期期末联考（2017

‎2016-2017学年山西重点中学协作体高三（上）期末考数学试题卷（文理通用）‎ 考生注意：‎ ‎（1）本次考试满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎（2）本卷分为试题卷和答题卷，考生请在答题卷上作答。‎ 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）[来源:学科网]‎ ‎1． 已知全集U＝R，集合，集合，则(      )‎ ‎    [来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎2．设定义在上的奇函数，满足对任意都有，且 时，，则的值等于（    ）‎ A.        B.       C.        D. ‎ ‎3．设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（　　）‎ A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0‎ C．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0‎ ‎5．已知，则函数的最大值是（ ）‎ A．2         B．3            C．1            D． ‎ ‎6．函数的零点个数为(      )‎ ‎7． 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的斜率的取值范围是 (      )‎ ‎    A.[]     B.      C.[      D.‎ ‎8．2017年“元旦”期间，山西某游乐园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入游乐园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时园内的人数是(　　)‎ A．212－57     B．211－47    C．210－38     D．29－30‎ ‎9．函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（     ）‎ A．       B．        C．        D．‎ ‎11．设点和点分别是函数和图象上的点，且x1≥0, x2>0．若直线轴，则两点间的距离的最小值为 （ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于 （ ）‎ A B C D ‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）‎ ‎13．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ___________________.‎ ‎14．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解是　　　　　　．‎ ‎15．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为　　　　　　．‎ ‎16. 给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是_______________.(多选)‎ A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x ‎ 三、解答题：（本大题分必考题和选考题两部分，共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）‎ ‎（一）必考题：本部分共五大题，每题12分，共60分。‎ ‎17．在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：；                              ‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值； ‎ ‎(Ⅲ) 若平面，求的值．‎ ‎ ‎ ‎　‎ ‎20． 已知椭圆的标准方程为：[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（1）当时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点的直线与圆交于两点，‎ ‎    求的值.‎ ‎　‎ ‎21. 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.‎ ‎(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．‎ ‎（二）选考题：考生在下列三题中任选一题作答，10分。‎ ‎22.[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程，在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知上的点对应的参数，射线与曲线交于点 ‎（1）求曲线，的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，，在曲线上，求的值．‎ ‎23.[选修4-4：不等式选讲]‎ 已知|x1﹣2|＜1，|x2﹣2|＜1．‎ ‎（1）求证：2＜x1+x2＜6，|x1﹣x2|＜2;[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎（2）若f（x）=x2﹣x+1，求证：|x1﹣x2|＜| f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|.‎ ‎24.[选修4-1：几何证明选讲]‎ 在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2＝AB·ED．‎ ‎数学试卷（合用）‎ 参考答案与解析 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1-5DCBAD 　6-10BBBCC 11-12AC 二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．12π ‎ ‎14． {x|﹣3＜x＜1或x＞3}　．　‎ ‎15．　f（x）=x　．‎ ‎16. ABD 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）‎ ‎17解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，‎ 由a2=3，a5=81，得 ‎，解得．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）∵，bn=log3an，‎ ‎∴．‎ 则数列{bn}的首项为b1=0，‎ 由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），‎ 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．‎ ‎∴．‎ ‎18．解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．‎ ‎（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，‎ 成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．‎ ‎（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，‎ 其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，‎ 故所求概率为P=．‎ ‎19．(Ⅰ)由于平面平面，‎ 为等边三角形，为的中点，则，……………………………1‎ 根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，……………………………….2‎ 又平面，则………………………………………..3‎ ‎ (Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，………………………………………………….5‎ 由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，‎ 设平面的法向量，‎ ‎，，‎ 则，…………………………………………………………………….8‎ 二面角的余弦值，‎ 由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为……….10‎ ‎（Ⅲ）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，解得 或，由于，则………………………………….12分 ‎20．解：（1）焦点坐标    ..........2分 ‎        离心率                ..........3分 ‎   （2）当斜率不存在时 ‎           ‎ ‎        此时                 5分 ‎       当斜率不存在=时，设 ‎        ‎ ‎       由   得        7分 ‎                                   9分 ‎       ‎ ‎          ‎ ‎       所以                11分 ‎                      ‎ ‎                                                             12分 ‎       所以 为定值.       ‎ ‎ 21．(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋)(x－2－)．‎ 当x∈(－∞，2－)时f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－)上单调增加；‎ 当x∈(2－，2＋)时f′(x)＜0，f(x)在(2－，2＋)上单调减少；‎ 当x∈(2＋，＋∞)时f′(x)＞0，f(x)在(2＋，＋∞)上单调增加．‎ 综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－，2＋)．‎ ‎(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．‎ 当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；‎ 当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根，‎ 因此a的取值范围是(，)．‎ x2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎22. （I）曲线C1的方程为 +y2=1．曲线C2的方程为（x-1）2+y2 =1． （II）‎ ‎23. 证明：（I）∵|x1﹣2|＜1，∴﹣1＜x1﹣1＜1，即1＜x1＜3，…（2分）‎ 同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6，                         …（4分）‎ ‎∵|x1﹣x2|=|（x1﹣2）﹣（x2﹣2）|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|，‎ ‎∴|x1﹣x2|＜2；                                        …（5分）‎ ‎（II）|f（x1）﹣f（x2）|=|x12-x22﹣x1+x2|=|x1﹣x2||x1+x2﹣1|，…（8分）[来源:学科网]‎ ‎∵2＜x1+x2＜6，‎ ‎∴1＜x1+x2﹣1＜5，‎ ‎∴|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|…（10分）‎ ‎24. 连接BD， 因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD＝∠ABD．……………………………………4分 ‎ 又因为AB∥CD， 所以∠BAD＝∠ADE，‎ ‎ 所以△EAD∽△DBA．                  ……………………………………………8分 ‎ 从而＝，所以AD2＝AB·ED． …………………………………………………10分