数学文卷·2018届广东省深圳市耀华实验学校高三上学期期末考试（2018

数学文卷·2018届广东省深圳市耀华实验学校高三上学期期末考试（2018

绝密★启用前 ‎2017－2018学年第一学期期末考试 高三年级实验班(文科数学)试题卷 ‎ 2018.01‎ 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为 ‎（A）40 (B) 48 (C) 50 (D)80‎ ‎2．若，其中，是虚数单位，则= ‎ ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎3．已知,且，则下列不等式中成立的是 ‎ （A） (B) (C) (D)‎ ‎4．已知直线、,平面，则下列命题中假命题是 ‎（A）若，,则 (B)若，,则 ‎(C)若，,则 (D)若，,,,则 ‎5．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 ‎ （A）2 (B) 2 (C) (D) ‎ ‎6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 ‎ ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎7．若,,且函数在处有极值，则的最大值 ‎（A）2 (B) 3 (C) 6 (D)9‎ ‎8．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的最大值是 ‎ ‎ （A） (B) (C) 0 (D)1‎ ‎9．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是 ‎ ‎ ‎ （A） (B) (C) (D)‎ ‎10．圆心在曲线 上，且与直线 相切的面积最小的圆的方程为（ ）‎ ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎11．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ‎(A) ‎ ‎ (B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12．已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），‎ ‎（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），……，则第60个数对是 ‎（A）（10，1） (B)（2，10） (C)（5，7） (D)（7，5）‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．平面向量与的夹角为，，，则=__________. ‎ ‎14．点为周长等于的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点，则劣弧的长度小于的概率为_________．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎15．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为_________． ‎ ‎16．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则的前项和是_________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分． ‎ ‎17．（本小题满分10分） ‎ ‎ 在△中，分别为内角的对边，.‎ ‎ (Ⅰ) 求的大小；‎ ‎ (Ⅱ) 若, , 求△的面积.‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知为公差不为零的等差数列，其中成等比数列，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.‎ ‎ ‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，、分别为、的中点，侧面，且.‎ ‎(Ⅰ)求证： ∥平面；‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：‎ 单价x（元/件）‎ ‎60‎ ‎62‎ ‎64‎ ‎66‎ ‎68‎ ‎70‎ 销量y（件）‎ ‎91‎ ‎84‎ ‎81‎ ‎75‎ ‎70‎ ‎67‎ ‎（Ⅰ）通过画散点图可判断销量与单价线性相关，请求关于的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）已知该产品的成本是元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .‎ ‎（Ⅰ） 证明: 为定值;‎ ‎（Ⅱ） 记的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.‎ ‎2017—2018学年第一学期期末考试 高三年级实验班(文科数学)试题 参考答案 一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C D C A A D D B A B C 二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．‎ ‎13．. 14．. 15．．16．．‎ 三、解答题：‎ ‎17．（本小题满分10分） ‎ ‎ 在△中，分别为内角的对边，.‎ ‎ (Ⅰ) 求的大小；‎ ‎ (Ⅱ) 若, , 求△的面积.‎ ‎ （17）(Ⅰ)解: ∵,‎ 由正弦定理得，， ……………………………………1分 化简得，. ……………………………………………………2分 ‎∴. …………………………………………………4分 ‎∵，‎ ‎∴. ……………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)∵, ∴. …………………………………6分 ‎ ∴. …………8分 ‎ 由正弦定理得，， ……………………………………………………9分 ‎ ∵，， ‎ ‎ ∴. ………………………………………………………10分 ‎ ∴△的面积. ………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知为公差不为零的等差数列，其中成等比数列，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.‎ 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为，依题意有 ‎，即，‎ 因为，所以解得，‎ 从而的通项公式为.……………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)因为，‎ 所以，‎ 令，解得，故取.…………………………………………12分 ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，、分别为、的中点，侧面，且.‎ ‎(Ⅰ)求证：∥平面；‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解:(1)连结，则是的中点，为的中点 故在△中， ，………………………………3分 ‎ 且平面PAD，平面PAD， ‎ ‎∴平面PAD……………………………………6分 ‎ (Ⅱ)取的中点N,连结,,∴ ……………………8分 又平面⊥平面，平面∩平面=,‎ ‎, ………………………10分 ‎ ………………………12分 ‎20．(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积．‎ 解:（Ⅰ）曲线化为普通方程为：，…………………………………………2分 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为．……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），……………………………………8分 代入化简，得， ‎ 设，两点所对应的参数分别为，则， ‎ ‎∴．……………………………………………………12分 ‎21．(本小题满分12分)‎ 某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：‎ 单价x（元/件）‎ ‎60‎ ‎62‎ ‎64‎ ‎66‎ ‎68‎ ‎70‎ 销量y（件）‎ ‎91‎ ‎84‎ ‎81‎ ‎75‎ ‎70‎ ‎67‎ ‎（Ⅰ）通过画散点图可判断销量与单价线性相关，请求关于的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）已知该产品的成本是元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎ ‎ 解:（I）散点图如图 ……………2分 由图得销量与单价线性相关 ‎ …………3分 ‎ …………4分 ‎……6分 回归直线方程为 ……………8分 ‎ （II）利润 ……………10分 ‎ 当时，利润最大，这时 故定价约为元时，企业获得最大利润. ……………12分 ‎22．(本小题满分12分)‎ 过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .‎ ‎（Ⅰ） 证明: 为定值;‎ ‎（Ⅱ） 记的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.‎ 解：(1) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.‎ ‎ 因为点和在抛物线上, 所以,.‎ ‎ 所以直线的方程为. …………………………………1分 ‎ 因为点在直线上,‎ ‎ 所以,即. ………………………………2分 ‎ 同理, . …………………………………………3分 ‎ 所以是方程的两个根.‎ ‎ 所以. …………………………………………4分 ‎ 又, …………………………………………5分 ‎ 所以为定值. …………………………………………6分 法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, ………………1分 由消去得,‎ 由, 化简得. ……………………………2分 所以. …………………………………………………………………3分 由,得,所以.‎ ‎ 所以直线的斜率为,直线的斜率为. ‎ ‎ 所以, 即. …………………………………………4分 ‎ 又, …………………………………………5分 ‎ 所以为定值. …………………………………………6分 ‎(2) 直线的垂直平分线方程为, ……………7分 ‎ 由于,,‎ ‎ 所以直线的垂直平分线方程为. ① …………8分 ‎ 同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分 ‎ 由①②解得, ,‎ ‎ 所以点. ……………………………………………………10分 ‎ 抛物线的焦点为 则 ‎ 由于，……………………………………………………11分 ‎ 所以 ‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分 把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎