【数学】福建省莆田市（第一联盟体）2020届高三上学期联考试题（理）（解析版）

【数学】福建省莆田市（第一联盟体）2020届高三上学期联考试题（理）（解析版）

福建省莆田市（第一联盟体）2020届高三上学期联考 数学试题（理）‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足，则（ ）‎ A. B. 3 C. 5 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ‎ 故选：C.‎ ‎2.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 所以 故选：D.‎ ‎3.在等比数列中，，则（ ）‎ A 6 B. 7 C. 8 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列的公比为，由题意可得：，解得：‎ ‎，‎ 故选：B.‎ ‎4.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选：B.‎ ‎5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】该三视图对应的直观图是三棱锥，如下图所示 由棱锥的体积公式得：，解得： ‎ 故选：C.‎ ‎6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 则函数在上为奇函数，故排除B、D.‎ ‎，当时，，即 所以函数在区间上单调递减，故排除C.‎ 故选：A.‎ ‎7.在梯形中，，，，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】在中，，，则 故选：D.‎ ‎8.设，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ 所以，即 故 故选：D.‎ ‎9.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①的图象关于轴对称；②在有3个零点；‎ ‎③的最小值为；④在区间单调递减.‎ 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】，则函数为上的偶函数，故①正确；‎ 当时，‎ ‎，即，则在区间的零点只有一个，所以在有2个零点，故②错误；‎ 当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故④正确；‎ 所以在的最小值为：‎ 因为函数，‎ 所以函数的周期为，‎ 由对称性以及周期性可知，函数的最小值为：，故③错误；‎ 故选：C.‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ）‎ A. B. C. ） D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】取切点为B，连接BO，作，垂足于A 因为，且为的中点，所以 在直角三角形中，，所以 由双曲线的定义得： ‎ 由余弦定理可知：‎ 化简得：，又 所以，即 所以 故双曲线的渐近线斜率为 故选：A.‎ ‎11.2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对应的自然数为21，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除A，D；‎ 对应的自然数为23，即，则或，解得：(舍)，，即对应的明文为，故排除B；‎ 故选：C.‎ ‎12.函数满足，若恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，(为常数)，即 由，得，则，所以 ‎，令 则，，‎ 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 则，即 所以，即函数在区间上单调递增 由于在区间恒成立，则 ‎ 解得，故选：A.‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若向量和垂直，则__________.‎ ‎【答案】5；‎ ‎【解析】向量和垂直，则，解得：‎ 则，，故答案为：5.‎ ‎14.已知满足，则取值范围是__________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ 表示点到点的距离 ‎，，则三角形为等腰三角形 则点到点的距离的最小值为：1，最大值为 所以的最小值为：，最大值为：‎ 故的取值范围为 故答案为：.‎ ‎15.已知直线与抛物线相交于不同的两点为的中点，线段的垂直平分线交轴于点，则的长为__________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】设 由得，‎ ‎ 则，所以，则线段的垂直平分线的方程为即 ‎ 则 故答案为：.‎ ‎16.正方体的棱长为2，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设.‎ ‎（1）下列说法中，正确的编号为__________.‎ ‎①截面多边形可能为四边形；②；③函数的图象关于对称.‎ ‎（2）当时，三棱锥的外接球的表面积为__________.‎ ‎【答案】 (1). ②③ (2). 9π ‎【解析】（1）连接，以点D为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ‎，‎ 所以，面，‎ 即面 同理可证：面 所以面面，如下图所示，夹在面和面之间并且与这两个平面平行的截面为六边形 故截面只能三角形和六边形，故①错误；‎ 由正方体的对称性，可得函数的图像关于对称，故③正确；‎ 取的中点分别为，连接，如下图所示，即此时 对应的周长为 ，即，故②正确；‎ ‎（2）当时，此时点P在线段的中点，连接交于点H 则，，则 ‎ 所以 ，同理可证：‎ 面，，所以面 取PH的中点为O， ，则三棱锥的外接球的球心为O，半径为，则三棱锥的外接球的表面积为 ‎ 故答案为：(1)②③；(2).‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.在中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，点在上，且，若的面积为，求的长.‎ 解：（1）∵∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，且，∴‎ ‎（2）∵，∴‎ ‎∵，∴，且 ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎18.在正项数列中，已知且.‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）设的前项和为，证明：.‎ ‎（1）证明：∵‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是公差为2的等差数列.‎ ‎∵∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是等差数列.‎ ‎（2）解：由（1）可得∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎19.如图：已知正方形的边长为，沿着对角线将折起，使到达的位置，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若是的中点，点在线段上，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求的值.‎ ‎（1）证明：取的中点，连接 ‎∵且为的中点，∴；同理，.‎ ‎，平面 ‎∴平面，则有为平面的平面角，‎ 又∵在中，，则有 ‎∴，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）可知，平面，则有，，又，则以为原点，所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系. ‎ 则有，，∴，‎ ‎∵是的中点，∴M，又设，则，‎ 则点的坐标为，∴.‎ 设平面的一个法向量为，则有，‎ ‎∴取，‎ ‎∵直线与平面所成角的正弦值为，‎ ‎，解得，‎ 故 ‎20.已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.‎ 解：（1）依题意可知，‎ 则，且，‎ 可得：，‎ 所以椭圆的方程为：.‎ ‎（2）∵为的垂心，∴‎ 由（1）知，∴，‎ 设直线方程为，‎ 联立得，‎ 可得，即，‎ 且可得，‎ ‎∵，∴，‎ 即，‎ ‎.‎ 解得或，‎ 当时，三点共线（舍去），∴，‎ 此时，‎ ‎，‎ 点到直线的距离.‎ ‎∴.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，记的最小值为，证明：.‎ 解：（１）∵的定义域为，‎ 又∵‎ ‎∴当时，，在上单调递减；‎ 当时，若，，在上单调递减；‎ 若，，在上单调递增.‎ ‎（2）∵，由（1）知：，‎ 令，‎ 设，‎ 由于恒成立，‎ 故可知在上单调递减，‎ 又∵，‎ 可知存使得，‎ ‎∴时，为增函数；‎ 时，为减函数，‎ 即当时，取得最大值，‎ ‎∵，‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选-题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.‎ 解：（1）曲线的普通方程为：，‎ 将曲线上的点按坐标变换得到，代入得的方程为：.‎ 化为极坐标方程为：.‎ ‎（2）点在直角坐标的坐标为，‎ 因为直线过点且倾斜角为，‎ 设直线的参数方程为（为参数），‎ 代入得：.‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则.‎ 所以.‎ ‎23.已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若都为正数，且，证明：.‎ 解：（1）由得得，‎ 因为的解集为，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 所以成立.‎